Espacios Vectoriales

ÍNDICE

Introducción _________________________________________________________2

Espacio vectorial_____________________________________________3

Sub espacio vectorial _________________________________________5

Combinación lineal ___________________________________________6

Base de un espacio vectorial y cambio de un espacio_________________7

Espacio vectorial con producto internoy propiedades.________________9

Base ortonormal y ortonomalizacion ______________________________10

Conclusion __________________________________________________11

I



ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto novacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional, debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no seespecifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman uncuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación ,operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar. Tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
Espacio vectorial
Un espacio vectorialsobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir



3) tenga elemento neutro, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación productopor un escalar:

Operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) tenga elemento neutro 1:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:










SUB ESPACIO VECTORIAL

Sea H un subconjunto no vacío de un espaciovectorial V(K). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definida en V.Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Sea (V, +, K, *) unespacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.
Intersección

La intersección de dos subespacios...