Espacios vectoriales

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Espacios Vectoriales. Definición
Comenzaremos con el estudio de un ente matemático como son los espacios vectoriales. Su definición puede parecer un poco extraña al no entendido, sin embargo, una idea ha de quedar clara: es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientes al espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operación, elresultado sigue siendo un elemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores será un vector y no cualquier otra cosa, como podría ser un punto.
Definición de espacio vectorial
Sea
un cuerpo. Diremos que un conjunto
dotado de una operación interna
y otra externa
sobre el cuerpo
tiene estructura de espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
1.

es un grupoabeliano
2.

es una operación que va del producto cartesiano
en el conjunto
:

verificando las siguientes propiedades:
2.1.
Distributiva respecto de la suma de vectores:
2.2.
Distributiva respecto de la suma de escalares:
2.3.
Asociativa mixta:
2.4.
Producto por el elemento unidad del cuerpo:
Siguiendo esta definición de lo que es un espacio vectorial, a partirde las propiedades que todos sabemos de la suma y producto de números reales (sabemos que
es un cuerpo, lo que implica, en particular, que
y
son grupos), se demuestra muy fácilmente que, por ejemplo, el espacio
de los vectores del plano con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar con un vector definidas como conocemos de cursos anteriores (esto es,
,
), setiene que
es un espacio vectorial sobre
.
Sin embargo, si ahora consideramos
estando definidas estas operaciones como sigue:
,
, se tiene que
no es un espacio vectorial sobre
, pues falla la propiedad de producto por el elemento de unidad del cuerpo, ya que
Dependencia e independencia lineal
Hemos visto la definición de espacio vectorial, vamos ahora a concretar algunaspropiedades que tiene la operación externa.
Propiedades de la operación
Sea
un espacio vectorial. Entonces, se verifica:
1.

2.

3.


ó
4.

5.

6.
Simplificación de escalares:

7.
Simplificación de vectores:

De la estructura de espacio vectorial sabemos que si sumamos dos vectores el resultado va a ser un vector. También sabemos que si multiplicamosun escalar por un vector, el resultado será un vector. Uniendo estos resultados, llegamos a las siguientes definiciones:
Combinaciones lineales. Dependencia e independencia de vectores
Decimos que un vector
es combinación lineal de los vectores
si existen unos escalares
de forma que
Por ejemplo, el vector
es combinación lineal de los vectores
, pues existen los escalares
,,
verificándose
Diremos que los vectores
son linealmente independientes si la igualdad
es únicamente cierta cuando los escalares
son todos iguales a cero. Entonces se dice que forman un sistema libre. En caso contrario se dirá que los vectores son linealmente dependientes, o que forman un sistema ligado.
Por ejemplo, en
(con las operaciones usuales
y
), se tiene que losvectores
y
son linealmente independientes, ya que si buscamos los escalares
,
tales que
, haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser
. Como sabemos, dos vectores son iguales si lo son componente a componente, lo que implica, automáticamente, que
y
luego, según la definición, son linealmente independientes.
Sin embargo, también en
, los vectores
y
no sonlinealmente independientes, pues al buscar los escalares
,
tales que
, haciendo operaciones, llegamos a que tiene que ser
. Aplicando de nuevo que dos vectores son iguales si lo son componente a componente, obtenemos
, es decir, nos hemos trasladado al mundo de la resolución de sistemas de ecuaciones. Ahora, con lo que sabemos sobre sistemas lineales, resolviendo se tiene que
y...
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