Esperanza estadistica

Momentos de Variables aleatorias. Esperanza y Varianza. Se introdujo la idea de usar distribuciones teóricas como modelos para las distribuciones empíricas y con cada distribución teórica de probabilidades podemos asociar ciertos parámetros o medidas que dan información valiosa acerca de la distribución. Estas medidas reciben el nombre genérico de “Momentos” y los más importantes son loscorrespondientes a la media y a la varianza de las distribuciones empíricas. Los momentos de una distribución teórica son de dos tipos: Momentos con respecto al origen y Momentos con respecto a la media. Definamos momento con respecto al origen. Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2,…….xk con función de probabilidades P( X  xi )  p( xi ) y sea n un entero positivo entonces eln-esimo momento al origen se denota por E ( X n ) y tiene por ecuación:

E ( X n )   x n p( xi ) donde la sumatoria se efectúa para todos los posibles valores de la variable aleatoria X. La Esperanza matemática es el caso particular de momento cuando n=1 y se define así: Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1, x2,…xn y sea p(xi)= P(X=xi) en donde i=1,2,…n. El valoresperado de X (esperanza matemática de X) denotada por E(X) se define como:
E ( X )   xi p( xi )
i 1 

Cuando x toma un número finito de valores, la expresión anterior llega así:
E ( X )   xi p( xi )
i 1 n

Esto se puede considerar como un “promedio ponderado” de valores posibles: x1, x2,…….xk y cuando todos los valores son igualmente probables entonces: 1 n E ( X )   xi n i 1 Lo querepresenta el promedio aritmético ordinario de los n valores posibles. Es muy importante señalar que el valor E(X) es un parámetro asociado con una distribución de probabilidades teórica, mientras que el promedio ponderado es un número asociado a un caso particular de una distribución empírica. La media o esperanza matemática E(X) de una variable X la denotaremos con la letra  (mu) o µX paradistinguirla de otras variables como µY. Ejemplo 1: Un comerciante produce artículos de tal modo que el 10% son defectuosos y el 90% no lo son. Si se produce un artículo defectuoso el fabricante pierde $1.00, mientras que el artículo sin defectos le produce una utilidad de $5.00. ¿Cuánto espera ganar el fabricante a la larga? Solución.- Si X es la utilidad meta por artículo, entonces X es unavariable aleatoria cuyo valor esperado sería

E(X)= -1(0.1)+5(0.9)= $4.40; si se produce un gran número de artículos entonces a la larga el fabricante espera ganar alrededor de $4.40 por artículo. Ejemplo 2: Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidades: xi P(xi) -3 0.1 -2 0.2 -1 0.4 0 0.2 1 0.1

Solución.Para este caso la esperanza de X es: E( X )    3(0.1) (2)(0.2)  (1)(0.4)  0(0.2)  1(0.1)  1.0 Y el 2º momento al origen sería: E ( X 2 )  (3) 2 (0.1)  (2) 2 (0.2)  (1) 2 (0.4)  (0) 2 (0.2)  (1) 2 (0.1)  2.2 Físicamente la esperanza matemática tiene una interpretación muy interesante, veamos la función de probabilidades del ejemplo anterior:

0.4 0.2 0.1 -3 -2 -1 0 1

µ= -1

La esperanza de X es el punto de equilibrio delhistograma. Esto refuerza la idea de correspondencia entre la medio aritmética y la esperanza matemática pues sugiere la utilización de E(X) como una medida del centro de la distribución teórica. El uso genérico del término “momentos” proviene de la física en donde significa que es el producto de una fuerza aplicada a un punto por una distancia llamada “brazo de palanca”. Para nuestro caso la fuerzasería la probabilidad en un punto p(xi) y el brazo de palanca sería xi. Obsérvese en la siguiente figura:

P(xi) p(xi)

xi

Observa que en los momentos al origen el “brazo de palanca” es la distancia del punto al origen; ahora veremos los momentos con respecto a la media. Definamos momento a la media.Sea x una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=xi) y media  . Si n es...