Estabilidad de liapunov

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

×Ø

Ð

Ä

ÔÙÒÓÚº

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº
Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø
× Ð ÒÚ ×Ø Úº

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð ÄÝ ÔÙÒÓÚº Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð
×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ ×ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Î ÑÓ×
ÓÒ× Ö Ö
Ù
ÓÒ × Ö Ò
Ð × ÓÖ Ò Ö ×¸ ÓÒ Ð Ö Ú ¹ Ð Ú
ØÓÖ Ü (Ø ) ×Ø Ö ÔÖ × ÒØ Ó ÜÔÐ
Ø Ñ ÒØ ¸ ×ØÓ ×¸ Ú ÑÓ×
ÓÒ× Ö Ö ×ÓÐ Ñ ÒØ × ×Ø Ñ × Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ
Ü ˙

= (Ü , Ø ),

´½µ

Ò ÓÒ Ø × Ð Ø ÑÔÓ ´ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×µ¸ Ü × ÙÒ ÙÒ
Ò ÐÓ× Ö Ð × Ò ¸ Ü = Ü / Ø Ý × ÙÒ ÙÒ
Ò ˙ Ò×Á Ò º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ö Ò
Ð Ò Ê × ÐÓ ×Ù
ÒØ Ñ ÒØ ×Ù Ú Ô Ö × ÙÖÖ Ð × Ü ×Ø Ò
¸ ÙÒ
Ý Ô Ò Ò

ÓÒØ ÒÙ Ð × ×ÓÐÙ
ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ´½µ
ÓÒ Ö ×Ô
ØÓ Ð ×
ÓÒ
ÓÒ × Ò
Р׺
Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº ×Ø Ð Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

Ò
Ò
ÍÒ ×ÓÐÙ
Ò Ü (Ø ) ØÓ Ó × Ý ×ÓÐÓ × Ô Ö Ü¼

ε>¼

´½µ
ÓÒ
ÓÒ
Ò Ò
Ð Ü ( Ü ×Ø

¼) = Ü

Ô Ö

¼

×

×Ø

Ð

δ

Ø Ð × ÕÙ×ÓÐÙ
Ò Ý (Ø )
ÙÝ

ÓÒ
Ò Ò
Ð Ý (

¼) = Ý

Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ × Ø×

¼

− ݼ < δ¸

×
ÙÑÔÐ ÕÙ
X(t)

Ý (Ø ) − Ü (Ø )

¼

¼) = Ý

×ÓÐÙ
Ò Ý (Ø )
ÙÝ × Ø Ò

ÓÒ
Ò Ò
Ð

× Ø×

− ݼ < β ¸

Ð ÑØ →+∞
X(t) X0

Ý (Ø ) − Ü (Ø )

= ¼.

Y(t) Y0

t Y(t) es una solución asintóticamente estable

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð
Ë ×Ø Ñ × Ä ÒÐ ×

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº
ÙØ ÒÓÑÓ׺

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

ÈÖ Ñ ÖÓ
ÓÑ Ò
ÑÓ× ÔÓÖ Ò Ð Þ Ö Ð
×Ó Ð Ò Ð ÙØ ÒÓÑÓ¸ ×
Ö
Ü ˙

=

Ü,

Ò ÓÒ × ÙÒ Ñ ØÖ Þ
ÓÑÔÐ ÒØ Ö ÓÖ ×ÓÒ Ð ÓÖÑ
Ü (Ø )

(Ò × Ò)º Ä =

× ×ÓÐÙ
ÓÒ × Ð × ×Ø Ñ

ØÜ

¼

ÓÒ Ü

Ø=

¼

∈

Ò
∞ Ò =¼

Ð
ÓÒ
Ò Ò
Ð Ý Ð ÜÔÓÒ Ò
Ð
Ò Ò! ( Ø ) .
½

Ñ ØÖ
×

Ö Ò×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

Ä Ñ
ÌÓ ×Ø Ô ÖØ Ð Ö ×ÓÐÙ
Ò Ü (Ø ) Ð Ê

=

ØÜ

¼

Ð × ×Ø Ñ

ÐÒ

Ð

ÙØ ÒÓÑÓ Ü ˙ Ð Ñ ØÖ Þ

=

Ü

×

× Ý × ÐÓ × ØÓ Ó× ÐÓ×

(λ ) ≤ ¼º

ÒÚ ÐÓÖ ×

λ

Ø Ò Ò

Ä Ñ
ÌÓ ×ÓÐÙ
Ò Ü (Ø ) ×Ø

=
Ð Ö

Ø Ü¼
Ð Ê

Ð × ×Ø Ñ

ÐÒ

Ð

ÙØÒÓÑÓ Ü ˙ ÒÚ ÐÓÖ ×

× ÒØ Ø
Ñ ÒØ Ñ ØÖ Þ

× Ý × ÐÓ × ØÓ Ó× ÐÓ×

Ø Ò Ò Ô ÖØ

(λ ) < ¼º

= λ

Ü Ð

×

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

Ò
Ò
ÍÒ

´µ ´µ ´ µ

ÙÒ
Ò

A : [¼, ∞) → [¼, ∞)

×

À

Ò × Ý × ÐÓ ×

A A
Ý

×
ÓÒØ ÒÙ ¸ × ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ
Ö
ÒØ ¸

A(¼) = ¼º= غ

Ò Ô ÖØ
ÙÐ Ö¸ Ü ×Ø ÙÒ

ÒÚ Ö×

A −½

Ø Ð ÕÙ

A−½ (A(Ø )) = Ø

Ý

A(A−½ (Ø ))

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐ

Òº

Ì ÓÖ Ñ ´ÄÝ ÔÙÒÓÚµ
Ë ÙÒ À Ò Ü ×Ø ÙÒ ÓÐ Ò ÙÒ
Ò ×Ù Ú

Ò

Ö

Ó Ö

>¼

Î

: Ö × [¼, ∞) → Á ¸ Ê
Ý
ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ
Ò Ô Ö Ö Ð ÙÒ

Ò

ÓÒ ÙÒ
ÒÒ¸ Ø Ð ÕÙ

Ð ×

Ö

×

× Ù ÒØ ×

Ó×
ÓÒ
ÓÒ × ×

× Ø×

A ≥ A(

´µ ´µ

Î (Ü , Ø )

Ø Î (Ü (Ø ), Ø ) ≤ ¼
×ÓÐÙ
Ò

Ü

)

Ý Î(

Ô Ö

¼, Ø ) = ¼ Ô ØÓ Ó Ø ≥ ¼º

ØÓ Ó Ø

≥ ¼¸
Ð º

ÒØÓÒ
× Ð

ÕÙ Ð Ö Ó Ü ∗

≡¼

×

×Ø

Ö Ò
×
Ó Ð Ò ÖÓ Ð Ø À Þº

×Ø Ð

Ä ÔÙÒÓÚº

×Ø Ð

ÓÒØ Ò Ó ÄÝ ÔÙÒÓÚº
Î

Ë ×Ø Ñ × Ä Ò Ð × ÙØ ÒÓÑÓ׺ Ë ×Ø Ñ × ÒÓ Ä Ò Ð × ÔÐÒº
Ò ÓÒ

Ì ÓÖ Ñ
Ë ÙÒ Ü ×Ø ÙÒ ÓÐ Ý Ò ÙÒ
Ò ×Ù Ú

Ò

Ö

Ó Ö

>¼

: Ö × [¼, ∞) → Á ¸ Ê
Ý
ÒØÖÓ Ò Ð ÓÖ
ÒÔ Ö Ô Ö

Ò¸ Ø Ð ÕÙ

Ð × À Ò

Ö

×

× Ù ÒØ ×

Ó×
ÓÒ
ÓÒ × × × Ø ×

ØÖ × ÙÒ
ÓÒ ×

A¸ B

C
Ü

´µ ´µ
×Ø

B(

) ≥ Î (Ü , Ø ) ≥ A(
Ü

Ü

)

ØÓ Ó Ø

Ø Î (Ü (Ø ), Ø ) ≤ −C(
×ÓÐÙ
Ò Ò¸ Ó Ð º Å ×
α

)

Ô Ö

ØÓ Ó Ø

ÒØÓÒ
× Ð...