Estadística

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Funciones de variables aleatorias

Contenido

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1. Introducción

Prf 1) (9) Recordando un poco, el objetivo de la estadística, es el de hacer inferencias respecto a una población con base en los datos que aporta una muestra tomada de ésta. Cualquier inferencia útil, va acompañada de una medida de bondad. Las funciones de variables aleatorias se estrechan con laestadística debido a que las cantidades que se utilizan para estimar parámetros de una población o para tomar decisiones respecto a ésta, son funciones de las n observaciones aleatorias que aparecen en una muestra.

Prf 2) (6) El párrafo anterior se explica mediante un ejemplo.

Prf 3) (8) El error de estimación es la diferencia entre la estimación y el parámetro estimado, y constituye una medida debondad de una estimación.

[pic]¿Qué es el error de es estimación?

Prf 4) (7) Para determinar la distribución de probabilidad de una función de n variables aleatorias, Y1,Y2,…,Yn, tendríamos primero que calcular la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias mismas.

Prf 5) (9) En el caso discreto la funcion de probabilidad conjunta de las variables aleatorias Y1,Y2,…,Yn,[pic]
En el caso continuo la función de densidad conjunta es
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La expresión “Y1,Y2,…,Yn es una muestra aleatoria tomada de una población con densidad f(y)” significa que las variables aleatorias son independientes con función de densidad común.

[pic]¿Qué representa la siguiente expresión “Y1,Y2,…,Yn es una muestra aleatoria tomada de una población con densidad f(y)”?

[pic]2. Determinación de la distribución de probabilidad de una función de variables aleatorias

Prf 1) (9) Se presentan a continuación tres métodos que permiten determinar la distribución de probabilidad de una función de variables aleatorias y un cuarto método con el que es posible determinar la distribución conjunta de diversas funciones de variables aleatorias. Cualquiera de los métodos defina ladistribución de una función dada de las variables. “El método óptimo depende de la situación en que se aplique”.

Prf 2) (31) Para explicar los métodos, consideremos las variables aleatorias Y1,Y2,…,Yn y una función U(Y1,Y2,…,Yn), que denotamos simplemente con U. Los siguientes son métodos utilizados para determinar la función de probabilidad de U.

1. Método de las funciones dedistribución: Se aplica generalmente cuando las variables Y tienen distribuciones continuas. Primero se determina la función de distribución de [pic]. Para este fin hay que precisar la región en el espacio y1,y2,…,yn en la cual U ≤ u y en seguida se determina [pic] integrando f(y1,y2,…,yn) en esta región. La función de densidad de U se obtiene derivando la función de distribución [pic].
2. Método de lastransformaciones: Este método produce una expresión general para la densidad de [pic], donde h(y) es una función creciente o decreciente. De esta manera si Y1 y Y2 tiene una distribución bivariada, podemos aprovechar el resultado en una variable que obtuvimos antes para determinar la densidad conjunta de Y1 y [pic]. Ahora, la integración sobre y1 da como resultado la función de densidad deprobabilidad marginal de U.
3. Método de las funciones generadoras de momentos: Este método afirma que si dos variables aleatorias tiene funciones generadoras de momentos idénticas, las dos variables poseen las mismas distribuciones de probabilidad. Aquí, es necesario determinar la función generadora de momentos de U y compararla con las funciones generadoras de momentos de las variables aleatoriascontinuas y discretas comunes. Las funciones generadoras de probabilidad se pueden emplear de manera similar al método de las funciones generadoras de momentos.

[pic]Explica brevemente los métodos utilizados para determinar la distribución de probabilidad de U.

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3. Método de las funciones de distribución

Prf 1) (5) se ilustra el método mediante un ejemplo. Si Y tiene...