Estadistica

Estadística
Medidas de tendencia
central

Notación de Sumatoria


El símbolo del lado
indica la suma de todos
los Xi desde i=1 hasta
i=N.

N

Xi

i 1

Notación de Sumatoria


Es decir:
N

X


i 1

i

 X 1  X 2  ...  X N

Propiedades:

N

X Y  X Y  X Y
i 1

i i

N

 aX
i 1

1 1

2 2

 ...  X nYn
N

i

 aX 1  aX 2  ... aX n a X i
i 1

Notación de Sumatoria
Propiedades:


n

 aX
i 1

n

i

n

n

i 1

i 1

i 1

 bYi  cZ i   a X i  b Yi  c Z i

Medidas de tendencia central


Ubican e identifican el punto alrededor del cual
se centran los datos. Las medidas de tendencia
central nos indican hacia donde se inclinan o se
agrupan más los datos.

Medidas detendencia central
MEDIA
MEDIANA
MODA
PERCENTILES
CUARTILES

Medidas de tendencia central para
datos no agrupados: La Media


La Media Aritmética: la media de una muestra de
“n” números x1, x2, x3,…,xn se denota por
y se
define:
n

 xi  x
x1  x2  x3  ... xn i 1
x


n

n

n

Medidas de tendencia central para
datos no agrupados: La Media






Ejemplo:Tenemos los siguientes números:
19, 80, 21, 74, 66
La media se calcula:

19  80  21  74  66 260
x

 52
5
5

Medidas de tendencia central para
datos no agrupados: La Media


La Media Aritmética Ponderada: A veces se asocia a
los números X1, X2,…, XN ciertos factores de peso (o
pesos) w1, w2,…, wN, dependiendo de la influencia
asignada a cada número. En tal caso,
N

w1X 1  w2 X 2  ...  wN X N
X

w1  w2  ...  wN

w X
i 1
N

i

w
i 1

i

i

Medidas de tendencia central para
datos no agrupados: La Media




Ejemplo:
Calcule el promedio de las siguientes notas:
5,6 coef. 2; 3,5 coef. 1; 6,4 coef. 1 y 5,2 coef.2

5.6 * 2  3.5 *1  6.4 *1  5.2 * 2 31.5
x

 5.25
2 11 2
6


Otra manera de resolver esteproblema es
calculando un ponderador, que se define:
ponderadori 

wi
N

w
i 1

i

Medidas de tendencia central para
datos no agrupados: La Media






En este caso, los ponderadores son:
2/6=0.333
1/6=0.167
entonces, se calcula
n

x   ponderadori * X i
i 1

x  5.6 * 0.333  3.5 * 0.167  6.4 * .167  5.2 * 0.333  5.25

Medidas de tendencia central paradatos agrupados: La Media


Media aritmética para datos agrupados:
Cuando se cuenta con datos agrupados en
una distribución de frecuencia, todos los
valores que caen dentro de un intervalo de
clase dado se consideran igual a la marca de
clase, o punto medio del intervalo.

Medidas de tendencia central para
datos agrupados: La Media


Con Xj como marca de la clase j y fj comofrecuencia de la misma, se tiene que:

M

 fjX j
X 


j 1

n

Nótese que se asume que hay M clases

Medidas de tendencia central para
datos agrupados: La Media



Ejemplo:
Marca
A
partir
de
la Linf Lsup
xi
siguiente tabla de
0 150
75
distribución
de
225
frecuencia, encuentre 150 300
la media.
300 450
375
450 600
525
600 750
675
750 900
825

5850
46557382
856
4948

n=

23976

fi

hi

285 0.012

0.244
0.194
0.308
0.036
0.206

Medidas de tendencia central para
datos agrupados: La Media






Se puede hacer de dos maneras. Ambas
provienen de la definición de promedio
ponderado.
La
primera
suma
las
frecuencias
multiplicadas por su marca y se divide por n.
La
segunda
simplemente
suma
la
multiplicación delas marcas por las
frecuencias relativas.

Medidas de tendencia central para
datos agrupados: La Media
L inf

L sup

Marca
xi

fi

hi

xi*fi

0

150

75

285

0.012

21375

150

300

225

5850

0.244

1316250

300

450

375

4655

0.194

1745625

450

600

525

7382

0.308

3875550

600

750

675

856

0.036

577800...