estadistica

Coeficiente de determinación


Ajuste ordinario por mínimos cuadrados. Mientras los puntos no disten mucho de la línea de la regresión, el coeficiente de determinación adoptará valores altos.
En estadística, el coeficiente de determinación, denominado R2 y pronunciado R cuadrado, es un estadísticousado en el contexto de un modelo estadístico cuyo principal propósito es predecir futurosresultados o testear una hipótesis. El coeficiente determina la calidad del modelo para replicar los resultados, y la proporción de variación de los resultados que puede explicarse por el modelo.1
Hay varias definiciones diferentes para R2 que son algunas veces equivalentes. Las más comunes se refieren a laregresión lineal. En este caso, el R2 es simplemente el cuadrado del coeficiente decorrelación de Pearson, lo cual es sólo cierto para la regresión lineal simple. Si existe varios resultados para una única variable, es decir, para una X existe una Y, Z... el coeficiente de determinación resulta del cuadrado del coeficiente de determinación múltiple. En ambos casos el R2 adquiere valores entre 0 y 1. Existen casos dentro de la definición computacional deR2 donde este valor puede tomarvalores negativos2 .
Índice
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1 Cálculo
1.1 Caso general
1.2 Para la regresión lineal
2 Modelo lineal
3 Enlaces externos
4 Referencias
Cálculo[editar · editar código]
Caso general[editar · editar código]
Un modelo estadístico se construye para explicar una variable aleatoria que llamaremos dependiente a través de otras variables aleatorias a las que llamaremos factores. Dado quepodemos predecir una variable aleatoria mediante su media y que, en este caso, el error cuadrático medio es su varianza, el máximo error cuadrático medio que podemos aceptar en un modelo para una variable aleatoria que posea los dos primeros momentos es la varianza. Para estimar el modelo haremos varias observaciones de la variable a predecir y de los factores. A la diferencia entre el valorobservado de la variable y el valor predicho la llamaremos residuo. La media cuadrática de los residuos es la varianza residual.
Si representamos por  la varianza de la variable dependiente y la varianza residual por , el coeficiente de determinación viene dado por la siguiente ecuación:

Se mide en tantos por ciento. Si la varianza residual es cero, el modelo explica el 100% de valor de lavariable; si coincide con la varianza de la variable dependiente, el modelo no explica nada y el coeficiente de determinación es del 0%. En variables económicas y financieras, suele ser difícil conseguir un coeficiente de determinación mayor de un 30%.
Para la regresión lineal[editar · editar código]
Para la regresión basta con hacer el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson.

Donde: es la covarianza de 
 es la desviación típica de la variable 
 es la desviación típica de la variable 
Modelo lineal[editar · editar código]
En un modelo lineal, la variable dependiente  se explica mediante la ecuación  . Si observamos  veces tanto la variable aleatoria como los factores, podemos ordenar nuestras observaciones de la variable dependiente en una matriz  mientras que colocaremoslas de los factores en la matriz de regresión  . Cada observación corresponderá a una coordenada de  y a una fila de . Cada columna de la matriz de regresión corresponde a las observaciones de un factor. En cada observación el modelo cometerá un error:

Estos errores se llaman residuos. La varianza residual es la varianza de estos residuos.

 es la parte de la variación de  explicada por elmodelo lineal.
 es la parte de la variación de  que no explica el modelo lineal.
Sumando estas dos partes, obtenemos .

Problema: El valor del coeficiente de determinación siempre aumenta cuando incluimos nuevas variables en el modelo, incluso cuando éstas son poco significativas o tienen poca correlación con la variable dependiente. Para resolverlo tenemos el coeficiente de determinación...