estadistica

Estad´
ıstica I
Tema 4: Probabilidad y modelos probabil´
ısticos

Tema 4. Probabilidad y modelos probabil´
ısticos

Contenidos
Probabilidad:
Experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos elementales y
compuestos.
Propiedades de la probabilidad.
Probabilidad condicionada y sus propiedades.
Variables aleatorias y sus caracter´
ısticas.
Modelos de probabilidad discretos: Ensayosde Bernoulli y
distribuciones relacionadas.
Modelos de probabilidad continuos: Distribuci´n normal y
o
distribuciones relacionadas.

Conceptos b´sicos
a
Experimento aleatorio: proceso de observar un fen´meno cuyos
o
resultados son inciertos.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de
un experimento aleatorio. Se denota por
Ω = {e1 , e2 , . . . , en , . . .}donde cada uno de sus elementos se denomina suceso elemental.
Estos son siempre disjuntos dos a dos.
Suceso: un subconjunto del espacio muestral, es decir, un conjunto
de sucesos elementales
A = {e1 , e3 }

Ejemplos:
Resultado al lanzar una moneda.
Precio de la acci´n x al cierre de sesi´n el pr´ximo lunes.
o
o
o

Sucesos: conceptos b´sicos
a
Intersecci´n de sucesos: Si A y B sondos sucesos del espacio muestral Ω,
o
entonces la intersecci´n, A ∩ B, es el conjunto de todos los sucesos de Ω
o
que est´n en A y en B.
a
Representaci´n en diagramas de Euler-Venn:
o

Sucesos: conceptos b´sicos
a

A y B son sucesos incompatibles si no tienen ning´n suceso elemental en
u
com´n i.e., el conjunto A ∩ B es vac´
u
ıo

Sucesos: conceptos b´sicos
a

Uni´n desucesos: Si A y B son dos sucesos de un espacio muestral Ω,
o
entonces la uni´n, A ∪ B, es el conjunto de todos los sucesos de Ω que
o
pertenecen a cualquiera de los dos, A ´ B.
o

Sucesos: conceptos b´sicos
a
Sucesos triviales:
Suceso seguro Ω: conjunto = espacio muestral
Suceso imposible ∅: conjunto = conjunto vac´
ıo

Complementario o suceso contrario
El complementario de un suceso Aes el conjunto de todos los sucesos
elementales de Ω que no est´n en A.
a

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Consideremos el experimento aleatorio “resultado observado al lanzar un
dado”:

suceso elemental: el 1, el 2, el 3, el 4, el 5, el 6
espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
suceso: A = {2, 4, 6}

B = {4, 5, 6}

El suceso A es “sale un n´mero par”.
u
El suceso B es “sale unn´mero mayor que tres”.
u

Ejemplo: lanzamiento de un dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 4, 6}

B = {4, 5, 6}

Complementario:
¯
A = {1, 3, 5}

¯
B = {1, 2, 3}

Intersecci´n:
o
¯ ¯
A ∩ B = {1, 3} = A ∪ B

A ∩ B = {4, 6}
Uni´n:
o

¯ ¯
A ∪ B = {1, 2, 3, 5} = A ∩ B

A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

¯
A ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Ω
Sucesos incompatibles:
¯
A∩A=∅
Notar que:A∩B ⊂A

A∩B ⊂B

A⊂A∪B

B ⊂A∪B

Probabilidad

Probabilidad cl´sica (regla de Laplace)
a
Considera un experimento para el que todos los sucesos elementales son
equiprobables. Si tenemos k sucesos elementales,
P(A) =

1
× tama˜o de A
n
k

De esta manera, la probabilidad es una aplicaci´n que asigna a cada
o
suceso A un valor num´rico P (A) ∈ [0, 1].
e

Propiedades de laprobabilidad

0 ≤ P(A) ≤ 1.
n
i=1

Sea A = {e1 , e2 , . . . , en }, entonces P(A) =

P(ei ).

P(Ω) = 1 y P(∅) = 0.
¯
Complementario: P(A) = 1 − P(A).
Uni´n: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
o
Si A y B son incompatibles (A ∩ B = ∅), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Probabilidad de un suceso elemental: P(ei ) = 1 , donde ei = i, para
6
i = 1, .. . , 6.
Probabilidad de que salga par: A = {2, 4, 6}, luego
P(A) = P(”2”) + P(”4”) + P(”6”) =

1
1 1 1
+ + =
6 6 6
2

Probabilidad de que salga mayor que 3: B = {4, 5, 6}, luego
P(B) = P(”4”) + P(”5”) + P(”6”) =

1 1 1
1
+ + =
6 6 6
2

Probabilidad de que salga impar
¯
P(A) = 1 − P(A) = 1 −

1
1
=
2
2

Ejemplo: lanzamiento de un dado

Probabilidad de que salga...