Estadistica

Módulo III – Correlación y Regresión

ADE II

Recta de regresión y correlaciones
En las distribuciones bidimensionales que siguen una dependencia estadística se utilizan gráficas de puntos
para representar sus tendencias. No obstante, dichas tendencias pueden apuntar a una ley de tipo funcional,
que pueda explicar el comportamiento global de la distribución. Para hallar esta ley seutilizan métodos de
regresión y correlación entre las variables.

Regresión y líneas de regresión
Con frecuencia, las variables que constituyen una
distribución bidimensional muestran un cierto
grado de dependencia entre ellas. Un ejemplo
típico de esta relación aparece en las tablas de
peso y altura de los grupos de población: aunque
no existe una ley causal que relacione ambas
variables, entérminos estadísticos se aprecia una
dependencia entre ellas (cuando aumenta la altura,
suele hacerlo también el peso). Esta dependencia
se refleja en la nube de puntos que representa a la
distribución, de modo que los puntos de esta
gráfica aparecen condensados en algunas zonas.

La concentración de puntos en algunas regiones de la
nube refleja la existencia de una dependencia
estadística,y la posibilidad de definir una ecuación de
regresión.

En tales casos, se pretende definir una ecuación de regresión que sirva para relacionar las dos
variables de la distribución. La representación gráfica de esta ecuación recibe el nombre de línea de
regresión, y puede adoptar diversas formas: lineal, parabólica, cúbica, hiperbólica, exponencial,
etcétera.

Regresión lineal
Cuando lalínea de regresión se asemeja a una recta (regresión lineal), puede ajustarse a esta
forma geométrica por medio de un método general conocido como método de los Mínimos
Cuadrados. La recta de ajuste tendrá por ecuación y = ax + b, donde los coeficientes a y b se
calculan teniendo en cuenta que:
•

La recta debe pasar por el punto ( ).
• La separación de los puntos de la gráfica dedispersión con respecto a la recta de regresión
debe ser mínima.
Estas dos condiciones conducen a una recta de ajuste expresada por la ecuación:

Donde es la media aritmética de la primera variable, la media aritmética de la segunda variable,
σx la desviación típica de la primera variable y σxy un valor denominado covarianza, que se define
por la expresión:

Prof. Douglas Barrios

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Correlación
En una distribución bidimensional, se define correlación, denotada por r, como el grado de
dependencia que existe entre las dos variables del modelo, de modo que:
•

Cuando al aumentar el valor de una variable crece también el de la otra, la correlación es
directa, e inversa en caso contrario.

•

Si no existedependencia entre las variables, la correlación es nula.

Para conocer si una correlación es directa o inversa, basta con determinar su covarianza:
•

Si la covarianza es positiva, la correlación es directa.

•

Cuando la covarianza es negativa, existe una correlación inversa entre las variables.

Ejemplos de correlación inversa.

Coeficiente de correlación
La medida exacta del grado dedependencia entre las dos variables de una distribución bidimensional
se obtiene por medio del denominado coeficiente de correlación. Este parámetro se define como el
cociente entre la covarianza de la distribución y el producto de las desviaciones típicas de cada una
de las variables. Es decir:

•

Si r = +1, la correlación es máxima directa. Cuando r = -1, la correlación es máxima inversa. Enambos casos, existe entre las variables una dependencia funcional (todos los puntos están
situados sobre la recta de regresión).

•

Si -0,5 ≤ r ≤ +0,5, se dice que entre las variables existe una dependencia baja.

Prof. Douglas Barrios

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Clasificación de la Correlación
De acuerdo al número de variables...