Estadistica

Introducción a la Econometría

VII. MODELO LINEAL SIMPLE, MLS: EJERCICIOS RESUELTOS:9 ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN APLICADO A LA ECONOMÍA MEXICANA, CON MÉTODOS COMPLEMENTARIOS Y/O DIFERENTES9 VII.1 Ejemplos Referidos a la Regresión Simple Suponga que el consumo (Y) y el ingreso (X) para los últimos 4 años (en millones de pesos) son los siguientes:

Año 1 2 3 4 n=4

(Yi) 3 4 5 8 20 Y= 20/4=5

(Xi) 5 6 8 9 28 X = 28/4=7

yi -2 -1 0 +3 0

xi -2 -1 +1 +2 0

xi yi 4 1 0 6 11

xi2 4 1 1 4 10

S e desea probar la hipótesis de que el consumo en M éxico depende de las variaciones que experimenta el ingreso, los pasos son los siguientes: 1. Se establece la relación económica entre ambas variables a través de la ecuación de regresión:

$ $ $ y = a + bX + e
Donde:

$ $a , b son los estimadores de los parámetros reales: a y b $ e = y - y residuo o diferencia

$ y es el consumo estimado en la muestra del consumo real

$ $ Para encontrar los valores de a y b se usan las ecuaciones normales siguientes: $ $ ∑ Y = na + b ∑ X ∑ XY = a$∑ X + b$∑ X
Cuya solución nos permite obtener:

2

a= ˆ

∑ X ∑Y − ∑ X ∑ XY = a = Y − bX $ $ n∑ X − (∑ X )
2 2 2

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“y” ˆ b=

n∑ XY − ∑ X ∑Y n∑ X − (∑ X )
2 2

Observaciones: A menudo para simplificar operaciones se desvían los valores de x e y con respecto a $ X e Y para obtener b ; y las literales xi e yi se usan para:

xi = X i − X e yi = Yi − Y
Por lo tanto, el cálculo de los estimadores es:

$ b=

∑x y ∑x
i 2 i

i

=11 = 11 . 10

$ $ a = Y − bX = 5 − (11)7 = − 2.7 . $ Así, la ecuación de regresión estimada es: y = − 2.7 + 11 X i . $ Obsérvese que b tiene signo positivo, lo cual es bueno por que corrobora la teoría económica de que a medida que aumenta el ingreso (X) también aumenta el consumo (Y). $ $ 2. Una vez obtenidos los parámetros a y b , se prueba su significación estadística, es decir, se verificasi hay o no relación entre el ingreso (X) y el consumo (Y). Para ello se requieren las varianzas de los dos: $ Var.a = σ 2 u $ Var.b = σ
2 u

∑X n∑ x ∑x
1
2 i

2 2 i

i

donde σ u es la varianza residual

Como generalmente se desconoce σ 2 , la varianza residual, se estima con S2 que es un estimador u 2 insesgado de σ u , cuya formula es:

$u S =σ2 =
2

∑e

2 i

n− k

n =número de observaciones k = número de parámetros estimados

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$ $ Así, los estimadores insesgados de las varianzas de a y b son: S a2 = $ Sb2 $

∑e ∑ X n − k n∑ x ∑e 1 = n− k ∑ x
2 i 2 i 2 i

2 2 i

i

Derivado de lo anterior podemos decir en general que S aˆ y Sbˆ son los errores estándar de los

$ $estimadores. Como U i tiene distribución normal, Yi , a , b también se distribuyen normalmente, y
como la muestra n = 4 es decir, menor que 30, usamos t con n - k grados de libertad para probar la $ $ hipótesis y construir intervalos de confianza para a y b . Para ello, a partir de los datos de la tabla anterior, se requiere hacer adicionalmente los siguientes cálculos.

Año 1 2 3 4 n=4 Puesto que:

$yi
2.8 3.9 6.1 7.2 20

$ ei = Yi − yi
+0.2 +0.1 -1.1 +0.8 0

ei2 0.04 0.01 1.21 0.64 1.9

Xi2 25 36 64 81 206

xi2 4 1 1 4 10

yi2 4 1 0 9 14

yi = a + bX i ˆ ˆ ˆ s .sustituimo y1 = − 2.7 + 1.1(5) = 2.8 ˆ y2 = − 2.7 + 1.1(6) = 3.9 ˆ y3 = − 2.7 + 1.1(8) = 6.1 ˆ y4 = − 2.7 + 1.1(9) = 7.2 ˆ

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Gráficamente:
87 6 5 4 3 2 1 0 -1 0 -2 -3

y

y = −2.7 + 1.1X i ˆ

Consumo

2

4

6

8

10

x
Ingreso

con estos datos ahora calculamos
2 Sa = ˆ

∑ ei2 ∑ Xi2 = 1.9 206 = 391.4 = 4.8925 80 n − k n∑ xi2 (4 − 2) 4(10) ∑ ei2 = 1.9 = 1.9 = 0.0950 (n − k ) ∑ xi2 ( 4 − 2)(10) 20

Calculamos:

Sa = 2.2118 ˆ S =
2 ˆ b

Sb = 0.3082 ˆ
Así, las hipótesis nulas ( Ho) y alternativas ( Ha) se...