Estadistica

CURVA DE DISTRIBUCION NORMAL
1. DEFINICIÓN
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.
Función de densidad

Se dice que unavariable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 es la varianza).
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguienteexpresión:

Función de distribución

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

Elcomplemento de la función de distribución de la normal estándar , se denota con frecuencia , y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería. Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de .
La inversa de lafunción de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:

y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se haprobado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.
Límite inferior y superior estrictos para la función dedistribución
Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar es muy próxima a 1 y está muy cerca de 0. Los límites elementales

en términos de la densidad son útiles.
Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

De forma similar, usando y la regla del cociente,

Resolviendo para proporciona el límite inferior.
Funcionesgeneradoras
Función generadora de momentos
La función generadora de momentos se define como la esperanza de e(tX). Para una distribución normal, la función generadora de momentos es:

como puede comprobarse completando el cuadrado en el exponente.
Función característica
La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la funcióncaracterística se obtiene reemplazando t por it en la función generadora de momentos.
Para una distribución normal, la función característica es

2. PROPIEDADES
Estandarización de variables aleatorias normales
Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.
Si ~ , entonces es una variablealeatoria normal estándar: ~ .
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.
Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,

A la inversa, si es una distribución normal estándar, ~ , entonces

Es una variable...