estadistica

1. Esperanza matemática
La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
2. Momentorespecto al origen y respecto a la media
Las medidas que se han visto hasta el momento presentan visiones parciales de la distribución, se pretende dar ahora una herramienta eficaz que generalice esa idea, de tal forma que la mayoría de las características se puedan expresar utilizando dicha herramienta. Así, se hace referencia a los momentos de la distribución.
 Momentos respecto al origen
Sedefine el momento de orden  respecto al origen como: 



Es evidente que  es igual a 1 y que  es igual a la media.

Momentos respecto a la media
El momento de orden k respecto a la media viene dado por: 



Se puede comprobar que  es igual a 1, que  es cero y que  es la varianza.
Es posible expresar los momentos respecto a la media en función de los momentos respecto al origen.
3. Funcióngeneradora de momento
Sea X una variable aleatoria. El valor esperado:

recibe el nombre de función generadora de momentos.
 
Si X es una variable aleatoria discreta

Si la variable es continua

Puede demostrarse que si la función generadora de momentos existe, entonces es única y determina por completo a la distribución de probabilidad de X. Es decir, si dos variables aleatorias tienen la misma funcióngeneratriz de momentos, entonces, las dos variables tienen también la misma distribución de probabilidad.
Por otra parte, si la función generadora de momentos existe, entonces es indefinidamente derivable en t=0. Esto nos asegura que generará todos los momentos, de cualquier orden, de X en cero. En efecto:

Derivando
Para la derivada segunda, se tiene:



En general, siguiendo con el proceso dediferenciación, se obtiene:

El mismo resultado se obtendría si se reemplaza la función exponencial por su desarrollo en serie de potencias alrededor de t=0.

Al derivar con respecto a t y calcular sus derivadas en t=0, se llegaría al mismo resultado.

4. Teorema de Chebyshev
Para demostrar cómo la desviación estándar es indicadora de la dispersión de la distribución de una variable aleatoria, elmatemático ruso Pafnuty Lvovich Chébyshev desarrolló un teorema en el que ofrece una garantía mínima acerca de la probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de k desviaciones estándar alrededor de la media.

Para cualquier variable aleatoria X con media µ y desviación estándar ó, la probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estándar de la media,siendo k una constante positiva cualquiera,es.cuando.menos

1-1/k²

Simbólicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes maneras:

La desigualdad de Chébyshev es muy importante, ya que permite determinar los límites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sin tener que especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que la probabilidad de que unavariable aleatoria se aleje de la media no más de k desviaciones estándar, es menor o igual a 1/k2 para algún valor de k >1. Aunque la garantía no siempre es muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a cualquier variable aleatoria con cualquier distribución de probabilidad, ya sea discreta o continua.
Ejemplo:
 Una variable aleatoria X tiene unamedia µ = 8 una varianza ○ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre
a) P (í4 < X < 20).
b) P (| X - 8 | >/ 6).

Solución
a) P (í4 < X < 20) = P[ 8 ± (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] >/15/14
b) P (| X - 8 | >/ 6) = 1 ± P (| X - 8 | < 6) = 1 ± P (- 6 < X - 8 < 6)= 1 ± P [8 ± (2) (3)  < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) /< ¼.¶µ

5. Concepto general de población y muestra
El concepto de...