Estadistica

Competencia: Lleva a cabo el procedimiento de la prueba de hipótesis con dos o más muestras
ANALISIS DE VARIANZA

INTRODUCCIÓN

Ya se han estudiado pruebas de hipótesis con dos muestras, ahora generalizaremos las ideas de pruebas de hipótesis a casos donde hay mas de dos muestras o más de dos promedios por comparar; por ejemplo : un ingeniero químico quiere comparar los rendimientospromedios de cuatro procesos cuyo objeto es producir una sustancia para uso industrial.

Ahora estudiaremos un método para probar la igualdad de dos o más promedios, este se llama: Análisis de Varianza.

Análisis de Varianza para un diseño Completamente Aleatorizado.

Definición. Un diseño completamente aleatorizado es un plan para reunir datos en el que se selecciona una muestra de cada poblaciónde interés y las muestras son independientes.

Ejemplo.
Supongamos que se han de comparar las resistencias a la tensión de piezas de acero que provienen de tres procesos, cada uno tiene cierto porcentaje de carbono. Si se toman muestras aleatorias de mediciones de resistencia a la tensión en piezas de cada proceso y las muestras son independientes, entonces el diseño resultante es un diseñocompletamente aleatorizado.

Las poblaciones de interés en los problemas de diseño experimental, se llaman Tratamientos. En el ejemplo anterior hay tres tratamientos, uno por cada % de carbono en el acero (cada proceso).

Los datos para un análisis de varianza para un diseño completamente aleatorizado se ordena generalmente, así:

| Tratamientos |
| 1 | 2 | 3 | … | k |
| Y11 | Y21 |Y31 | | Yk1 |
| Y12 | Y22 | Y32 | | Yk2 |
| . | | | | . |
| . | | | | . |
| Y1n | Y2n | Y3n | … | Ykn |
Total | T1 | T2 | T3 | … | Tk |

Prueba para comparar K promedios, para un diseño completamente aleatorizado
Hipótesis que deben considerarse:
1) Cada población (tratamiento) tiene distribución normal
2) Las K varianzas poblacionales son iguales.
La s hipótesis paraeste tipo de diseño se pueden plantear así:

H0:12 ........ K
H1: por lo menos dos promedios son diferentes

El análisis se puede resumir en la siguiente tabla:

TABLA ANDEVA(Resumen del análisis de varianza)

Fuente | GL | SC | PC | F |
Tratamiento | k-1 | SCT | PCT | PCT/PCE |
Error | n-k | SCE | PCE | |
Total | n-1 | SCTot | | |

Notación que se utiliza en elAnálisis de Varianza Para el diseño completamente aleatorizado
GL: grados de libertad
SC: Suma de cuadrados
SCT: suma de cuadrados de tratamiento
SCE: suma de cuadrados de errores
SCTot. : Suma total de cuadrados
PC: Promedio de cuadrados
PCT : promedio cuadrado de tratamiento
PCE: promedio cuadrado del error
PCT: SCT / K-1
PCE: SEC/ n – K

FÓRMULAS DE CALCULO

Ti : Total de muestra ini: tamaño de muestra i
n: tamaño total de la muestra
SCE = SCTot. – SCTn: n1 + n2 +…. + nK
K: tratamientos

Medida estadística de prueba: F PCT / PCE
Región de rechazo: Si F >F( 1 - ), ( k-1, n-k), se rechaza la hipótesis nula.
Ejemplo. Se seleccionaron muestras aleatorias independientes de tres poblaciones normalmente distribuidas con varianza común 2 desconocida. Los datos son lossiguientes:
| Muestra 1 | Muestra 2 | Muestra3 |
| 3.1 | 5.4 | 1.1 |
| 4.3 | 3.6 | 0.2 |
| 1.2 | 4 | 3 |
| | 2.9 | |
Total | 8.6 | 15.9 | 4.3 |

Hacer un análisis de varianza y llenar los lugares correspondientes a la TABLA ANDEVA
a) Probar la hipótesis de que los promedios de población son iguales comparándolos con la alternativa de que por lo menos un promedio esdiferente.
Solución
SCTot 23.376
SCT 11.075167
SCE 12.3008
a) La tabla es la siguiente:

Fuente | GL | SC | PC | F |
Tratamiento | 2 | 11.075 | 5.537 | 3.151 |
Error | 7 | 12.3 | 1.757 | |
Total | 9 | 23.376 | | |

b) F(0.95) (2 , 7) 4.74
Si F >F(0.95) (2 , 7) se rechaza Ho

3.151 > 4.47 No se rechaza la hipótesis de que son iguales los promedios de las...