Estadistica
Páginas: 17 (4162 palabras)
Publicado: 13 de octubre de 2015
Estimación de una Proporción
Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la estadística P=X/N, donde x representa el número de éxitos en n pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra p =x/n se utiuñlizará como estimador puntual del parámetro P.
Si no se espera que la proporción P desconocida esté demasiado cerca de 0 ó de 1, se puede establecer unintervalo de confianza para P al considerar la distribución muestral de proporciones.
Al despejar P de esta ecuación nos queda:
En este despeje podemos observar que se necesita el valor del parámetro P y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que lo sustituiremos por la proporción de la muestra p siempre y cuando el tamaño de muestra no sea pequeño.
Cuando n es pequeña y la proporcióndesconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguro, se debe requerir que np ó nq sea mayor o igual a 5.
El error de estimación será la diferencia absoluta entre p y P, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá .
Ejemplos:
1. Un fabricante dereproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores dediscos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
Solución:
n=500
p = 15/500 = 0.03
z(0.90) = 1.645
0.0237
2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si laproporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de de p.
Solución:
p=x/n = 20/400=0.05
z(0.95)=1.96
Si p=0.05 se usa para estimar P, podemos tener un 95% deconfianza en que P dista menos de 0.021 de p. En otras palabras, si p=0.05 se usa para erstimar P, el error máximo de estimación será aproximadamente 0.021 con un nivel de confianza del 95%.
Para calcular el intervalo de confianza se tendría:
Esto da por resultado dos valores, (0.029, 0.071). Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la proporción de pulas defectuosas de esta compañía está entre0.029 y 0.071.
Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza sólo se necesita aumentar el tamaño de la muestra.
3. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienenconsecuencias fatales.
Solución:
P= 60/300 = 0.20
Z(0.90) = 1.645
0.162
Si se tienen dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianzas 12 y 22, respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre 1 y 2 está dado por la estadística . Por tanto. Para obtener una estimación puntual de
1- 2, se seleccionan dos muestras aleatorias independientes,una de cada población, de tamaño n1 y n2, se calcula la diferencia , de las medias muestrales.
Recordando a la distribución muestral de diferencia de medias:
Al despejar de esta ecuación 1- 2 se tiene:
En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual.
Ejemplos:
1....
Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la estadística P=X/N, donde x representa el número de éxitos en n pruebas. Por tanto, la proporción de la muestra p =x/n se utiuñlizará como estimador puntual del parámetro P.
Si no se espera que la proporción P desconocida esté demasiado cerca de 0 ó de 1, se puede establecer unintervalo de confianza para P al considerar la distribución muestral de proporciones.
Al despejar P de esta ecuación nos queda:
En este despeje podemos observar que se necesita el valor del parámetro P y es precisamente lo que queremos estimar, por lo que lo sustituiremos por la proporción de la muestra p siempre y cuando el tamaño de muestra no sea pequeño.
Cuando n es pequeña y la proporcióndesconocida P se considera cercana a 0 ó a 1, el procedimiento del intervalo de confianza que se establece aquí no es confiable, por tanto, no se debe utilizar. Para estar seguro, se debe requerir que np ó nq sea mayor o igual a 5.
El error de estimación será la diferencia absoluta entre p y P, y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá .
Ejemplos:
1. Un fabricante dereproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores dediscos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
Solución:
n=500
p = 15/500 = 0.03
z(0.90) = 1.645
0.0237
2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si laproporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de de p.
Solución:
p=x/n = 20/400=0.05
z(0.95)=1.96
Si p=0.05 se usa para estimar P, podemos tener un 95% deconfianza en que P dista menos de 0.021 de p. En otras palabras, si p=0.05 se usa para erstimar P, el error máximo de estimación será aproximadamente 0.021 con un nivel de confianza del 95%.
Para calcular el intervalo de confianza se tendría:
Esto da por resultado dos valores, (0.029, 0.071). Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la proporción de pulas defectuosas de esta compañía está entre0.029 y 0.071.
Si se requiere un menor error con un mismo nivel de confianza sólo se necesita aumentar el tamaño de la muestra.
3. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienenconsecuencias fatales.
Solución:
P= 60/300 = 0.20
Z(0.90) = 1.645
0.162
Si se tienen dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianzas 12 y 22, respectivamente, un estimador puntual de la diferencia entre 1 y 2 está dado por la estadística . Por tanto. Para obtener una estimación puntual de
1- 2, se seleccionan dos muestras aleatorias independientes,una de cada población, de tamaño n1 y n2, se calcula la diferencia , de las medias muestrales.
Recordando a la distribución muestral de diferencia de medias:
Al despejar de esta ecuación 1- 2 se tiene:
En el caso en que se desconozcan las varianzas de la población y los tamaños de muestra sean mayores a 30 se podrá utilizar la varianza de la muestra como una estimación puntual.
Ejemplos:
1....
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