Estadistica

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Distribución de Ji- cuadrado (x²)

Notación: χ2 (la letra griega ji elevada al cuadrado).

Se obtiene a partir de la distribución normal, surge cuando tenemos n variables independientes que siguen aproximadamente una distribución normal estándar (X1, X2,…, Xn).

La variable resultante de sumar los cuadrados de éstas, sigue una distribución Ji-Cuadrado con n grados de libertad.

Sean X1,X2,...., Xn n valores de una variable aleatoria X observados en una muestra de tamaño n, X~N (0, 1).

Entonces:

X^2=x1^2+x2^2+…+xn^2 se distribuye Ji-Cuadrado con n grados de libertad.

Se denota:

Xχ2 (n gl)

La variable χ2 es no negativa pues se conforma a partir de la suma de números elevados al cuadrado que son siempre valores mayores o iguales que 0.

Los grados de libertad serefieren al número de términos independientes que es necesario para obtener el valor de la variable χ2 .

La cantidad χ2 es una medida del grado de congruencia entre las frecuencias observadas y las esperadas, bajo el cumplimiento de una hipótesis dada. En un experimento ideal, al coincidir las frecuencias observadas y las esperadas, las diferencias que aparecen dentro de los términos cuadráticosde la suma anterior son todos 0 y, por ende, χ2= 0. Este es valor más pequeño que puede tomar el estadígrafo.

Existen tablas con los valores de los percentiles de esta distribución para diferentes valores de n.

La ji-cuadrada es la distribución de datos discretos, que es función de la densidad poblacional y cuyos valores varían desde cero hasta + infinito.

A diferencia de la distribuciónNormal o la de t (Test de Student o de t),
la función se aproxima asintóticamente al eje horizontal sólo en la cola derecha de la curva y NO en ambas colas.

Como en la distribución de t, no hay solo una distribución de ji- cuadrado (x²) sino que existe una distribución para cada número de grados de libertad (u). Por tanto, es función u.

Las curvas son en forma de \ (jota invertida) alprincipio, pero más o menos acercándose a la simetría para los grados de libertad superiores.

Frecuencia relativa esperada
4
3
2
1

X² para =1
X² para =2
X² para =3
X² para =6

Las tablas de x² convencionales muestran que cada x² es el valor a partir del cual el área bajo la curva de la distribución para u grados de libertad, representa la probabilidad indicada.

Al obtener unvalor de x² para u grados de libertad y un determinado a- error tipo I-, designado como x²a[u], se obtiene un número a la derecha del cual se halla la proporción a del área bajo la distribución de x², para u grados de libertad.

Frecuencia relativa esperada


X² tabulado

Análisis de frecuencias.
Pruebas de Bondad de Ajuste.

Para evaluar el ajuste entre frecuencias observadas yesperadas existen estadísticos que prueban en qué medida difieren las mismas y si esa diferencia es significativa o no.

Hay dos métodos que son los más utilizados:
1.- Método de Ji- cuadrado o Chi- cuadrado (x²)
2.- Método G o prueba del logaritmo de la razón de Verosimilitudes

Método de Ji- cuadrado o Chi- cuadrado (x²)
X²= E (fo- fe)²
---------
fe

Donde fo= frecuencia observada
fe = frecuencia esperada

La razón por la que la que esta prueba se ha denominado Ji- cuadrado y por la que muchos han llamado así también al estadístico obtenido X², es que la distribución de muestreo de esta sumatoria se aproxima a la de una distribución de x² con u= 1 grados de libertad.

La prueba es siempre a una cola ya que las desviaciones están elevadas alcuadrado y conducen siempre a valores positivos de x² (de allí que tome sólo valores positivos hasta +infinito).

Desventajas del método:

1.- Deben agruparse aquellas clases con una frecuencia esperada menor o igual a 5 (fe≤5), hasta que su suma alcance un valor mayor o igual a 5 (E fe≥5).

Por esta restricción, el agrupamiento produce una reducción en el número de clases y es frecuente...
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