Estadística distribuciones muestrales, teorema del limite central y teorema de moivre
Páginas: 13 (3016 palabras)
Publicado: 30 de marzo de 2011
Distribuciones muéstrales de medias
La primera distribución muestral importante a considerar es la de la media X . Suponga que una muestra aleatoria de n observaciones se toma de una población normal con media ( y varianza ( . Cada observación Xi, i= 1, 2,…, n, de la muestra
aleatoria tendrá entonces la misma distribución normal que la población que se muestra. La importancia de la mediamuestral X surge de su uso para sacar conclusiones acerca de la media poblacional . Algunos de los procedimientos inferenciales utilizados con más frecuencia, se basa en propiedades de la distribución de muestreo de concluimos que:
X.
De aquí por la propiedad reproductiva de la distribución normal,
X
Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de la distribución con media estándar . Entonces:1. Tiene distribución normal con media, que es precisamente la media de la población: E (X ) = 2. Y media muestral, es precisamente la varianza de la población dividida entre n: V (X ) = 3. La distribución de la media muestral, tiene forma aproximadamente normal conforme crece el tamaño de la muestra (n , cualquiera sea la distribución de la población. Dado que X se distribuye aproximadamente enforma norma; la variable aleatoria X se estandariza de la forma: y desviación
Según Chao, L. (1984) “Si X es una variable aleatoria de media
y varianza
, la
distribución muestral de la media X de una muestra aleatoria de tamaño n, es aproximadamente normal con media y varianza si n es suficientemente grande y
ello independientemente de la distribución de X …” (p. 158).
Elcalificativo “suficientemente grande” tiene varias interpretaciones, en este informe se tomara para aquellos casos donde .
Ejercicio resuelto Nº 1 Un fabricante de juguetes desea saber si el peso de sus juguetes no le favorece a la hora de colocarlos en el mercado. Para ello examina los pesos X1, X2,…, X10 de una muestra aleatoria de tamaño 10 de esa población que se distribuye normalmente con media(8) y varianza (9Kg.). ¿Cuál será la probabilidad de que el promedio de los pesos de los juguetes sea mayor a 10Kg?
X = peso promedio, en Kg. de los juguetes X Se define normalmente (8, 9/10)
Solución: La distribución normal propone: P(
Interpretación: de cada 10000 veces que se observe esta situación, en 174 de ellas el promedio de los pesos de los juguetes será mayor a 10Kg.
Si tomamosmuestras de una población con distribución desconocida, finita o infinita, la distribución muestral de
X aún será aproximadamente normal, siempre que
el tamaño de la muestra sea grande. Este asombroso resultado es una consecuencia inmediata del siguiente teorema, que se llama teorema del límite central.
Teorema del límite central
El ejemplo anterior nos dio una introducción al teoremadel límite central, también se analizo la media muestral, que es la de interés en este momento. El teorema del límite central se aproxima con media y desviación estándar , se
toman todas las posibles muestras aleatorias, cada una de tamaño , la distribución muestral de las medias muéstrales relacionadas con el teorema del límite central: 1. Tiene una media igual a igual a
2. Tiene unadesviación estándar
Entones la forma límite de la distribución de
Conforme n
, es la distribución normal estándar
.
Dice Johnson, R. (1998) “… además, si la población muestreada tiene una distribución normal, entonces la distribución muestral de muestras de todos los tamaños…” (p. 282).
X
también es normal para
Esta afirmación es bastante interesante y consta de dos partes. Laprimera establece la relación entre la media y la desviación estándar poblacionales, y entre la media y la desviación estándar para todas las distribuciones muéstrales de medias muéstrales. La segunda indica que esta información no siempre es útil. Planteada de otra forma, establece que el valor medio de solo unas cuantas observaciones está distribuido normalmente cuando las muestras se extraen de...
La primera distribución muestral importante a considerar es la de la media X . Suponga que una muestra aleatoria de n observaciones se toma de una población normal con media ( y varianza ( . Cada observación Xi, i= 1, 2,…, n, de la muestra
aleatoria tendrá entonces la misma distribución normal que la población que se muestra. La importancia de la mediamuestral X surge de su uso para sacar conclusiones acerca de la media poblacional . Algunos de los procedimientos inferenciales utilizados con más frecuencia, se basa en propiedades de la distribución de muestreo de concluimos que:
X.
De aquí por la propiedad reproductiva de la distribución normal,
X
Sea X1, X2,…, Xn una muestra aleatoria de la distribución con media estándar . Entonces:1. Tiene distribución normal con media, que es precisamente la media de la población: E (X ) = 2. Y media muestral, es precisamente la varianza de la población dividida entre n: V (X ) = 3. La distribución de la media muestral, tiene forma aproximadamente normal conforme crece el tamaño de la muestra (n , cualquiera sea la distribución de la población. Dado que X se distribuye aproximadamente enforma norma; la variable aleatoria X se estandariza de la forma: y desviación
Según Chao, L. (1984) “Si X es una variable aleatoria de media
y varianza
, la
distribución muestral de la media X de una muestra aleatoria de tamaño n, es aproximadamente normal con media y varianza si n es suficientemente grande y
ello independientemente de la distribución de X …” (p. 158).
Elcalificativo “suficientemente grande” tiene varias interpretaciones, en este informe se tomara para aquellos casos donde .
Ejercicio resuelto Nº 1 Un fabricante de juguetes desea saber si el peso de sus juguetes no le favorece a la hora de colocarlos en el mercado. Para ello examina los pesos X1, X2,…, X10 de una muestra aleatoria de tamaño 10 de esa población que se distribuye normalmente con media(8) y varianza (9Kg.). ¿Cuál será la probabilidad de que el promedio de los pesos de los juguetes sea mayor a 10Kg?
X = peso promedio, en Kg. de los juguetes X Se define normalmente (8, 9/10)
Solución: La distribución normal propone: P(
Interpretación: de cada 10000 veces que se observe esta situación, en 174 de ellas el promedio de los pesos de los juguetes será mayor a 10Kg.
Si tomamosmuestras de una población con distribución desconocida, finita o infinita, la distribución muestral de
X aún será aproximadamente normal, siempre que
el tamaño de la muestra sea grande. Este asombroso resultado es una consecuencia inmediata del siguiente teorema, que se llama teorema del límite central.
Teorema del límite central
El ejemplo anterior nos dio una introducción al teoremadel límite central, también se analizo la media muestral, que es la de interés en este momento. El teorema del límite central se aproxima con media y desviación estándar , se
toman todas las posibles muestras aleatorias, cada una de tamaño , la distribución muestral de las medias muéstrales relacionadas con el teorema del límite central: 1. Tiene una media igual a igual a
2. Tiene unadesviación estándar
Entones la forma límite de la distribución de
Conforme n
, es la distribución normal estándar
.
Dice Johnson, R. (1998) “… además, si la población muestreada tiene una distribución normal, entonces la distribución muestral de muestras de todos los tamaños…” (p. 282).
X
también es normal para
Esta afirmación es bastante interesante y consta de dos partes. Laprimera establece la relación entre la media y la desviación estándar poblacionales, y entre la media y la desviación estándar para todas las distribuciones muéstrales de medias muéstrales. La segunda indica que esta información no siempre es útil. Planteada de otra forma, establece que el valor medio de solo unas cuantas observaciones está distribuido normalmente cuando las muestras se extraen de...
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