Estadística

Capítulo 4 Variables aleatorias
OBJETIVOS
Diferenciar entre variables aleatorias discretas y continuas. Manejar los conceptos de esperanza matemática y varianza de una variable aleatoria. Calcular las probabilidades de las variables aleatorias dependiendo del tipo de distribución que sigan. Asimilar y manejar la distribución binomial. Conocer las propiedades de la distribución normal. Manejarlas tablas de la

N (0, 1)

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Variables aleatorias

Variable aleatoria unidimensional. Características
•
VARIABLE ALEATORIA: es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral

E

un número real.

• VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: es aquella que sólo puede tomar unos ciertos
valores enteros. Ejemplos: número de personas por día que solicitan un tratamientoinnecesario en el servicio de urgencias de un hospital, número de niños nacidos en una determinada maternidad.

•

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: es aquella que puede tomar, al menos teó-

ricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos: el peso ganado por una mujer durante el embarazo, el volumen de orina producido por hora.

VARIABLE ALEATORIADISCRETA

•

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD: aplicación que asocia a cada valor de una varia-

ble aleatoria discreta su probabilidad respectiva. Se representa grácamente mediante un diagrama de barras no acumulativo, de manera que cada ordenada representa la probabilidad del correspondiente valor de la variable. X

P (X = xi ) = pi •

x1 p1

x2 p2

. . . xn . . . pn pi ≥ 0 F (x)
y asocia acada valor de la

p1 + p2 + . . . + pn = 1;
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN: se representa por recta real, la probabilidad acumulada hasta ese valor.

F (x) = P (X ≤ x)
Propiedades 1. Como

F (x)

es una probabilidad, se verica

0 ≤ F (x) ≤ 1.

2. La función de distribución es constante entre cada dos valores consecutivos de la variable. Se trata de una función escalonada. 3. La función dedistribución es nula para todo valor de la recta real anterior al menor valor de la variable aleatoria. 4. La función de distribución es igual a la unidad para todo valor de la recta real posterior al mayor valor de la variable aleatoria.

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5. La función de distribución es creciente.

•

MEDIA O ESPERANZA MATEMÁTICA:

µ = E(X) = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xn pn •
VARIANZA MATEMÁTICA:

σ2 = V ar(X) = (x1 − µ)2 p1 + (x2 − µ)2 p2 + . . . + (xn − µ)2 pn = = x2 p 1 + x2 p 2 + . . . + x 2 p n − µ 2 n 2 1 •
DESVIACIÓN TÍPICA: raíz cuadrada positiva de la varianza.

σ=

(x1 − µ)2 p1 + (x2 − µ)2 p2 + . . . + (xn − µ)2 pn = = x2 p 1 + x2 p 2 + . . . + x2 p n − µ 2 1 2 n

•

EJEMPLO: Un miembro del consejo de administración de una empresa médica ha

comprobado que, si bientodos los años tiene una junta, ha habido años que tienen hasta cinco. Por la experiencia acumulada durante años, sabe que el número de juntas anuales se distribuyen de la siguiente forma:

Número de juntas al año Probabilidad

1 2/15

2 5/15

3 1/15

4 3/15

5 4/15

Calcular

1. Función de probabilidad y su representación. 2. Función de distribución y su representación. 3.

µ, σ 2 ,σ .

4. Probabilidad de que en un año, elegido al azar, se celebren más de tres juntas.

•

EJEMPLO: Se lanza un dado 3 veces. Hallar la ley de probabilidad y la función de

distribución del número de apariciones del 4.

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Variables aleatorias

Distribución Binomial. Características
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características: 1. En cada pruebadel experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso su contrario

A

y

¯ A.

Al suceso

A

lo llamaremos éxito y al suceso

¯ A

fracaso.

2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. 3. La probabilidad del suceso otra. Se representa por

A

es constante y por tanto, no varía de una prueba a

p

a la probabilidad de

A...