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Páginas: 5 (1101 palabras) Publicado: 6 de septiembre de 2011
Ley del Coseno

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Ley del Coseno
Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple la relación: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cosC (Observe que la relación es simétrica para los otros lados del triángulo.) Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y tracemos la altura AD hacia el lado BC. C D a b

A

c

B

Es fácil observar que el triángulo ABD es rectángulo en D. Porlo tanto, por el teorema de Pitágoras, tenemos que:
c 2 = AD2 + BD2 c 2 = AD2 + ( a − CD)2 c 2 = a 2 + ( AD2 + CD2 ) − 2 aCD CD   c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cosC    Note  que cosC = .  b  

Aplicando el mismo procedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las siguientes relaciones: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cosC  a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B No hay que olvidarla importancia de este teorema, pues nos puede servir en algún momento para hallar las longitudes de ciertos lados de triángulos o en ocasiones conocer la medida del ángulo que forma dos rectas. Vemos cómo funciona, con unos cuántos ejemplos:

Ley del Coseno

2

Ejemplo 1. Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°. Determine la longitud del tercer lado.Solución. Supongamos que a = 6, b = 10, ∠C = 120° , y el tercer lado es c. Entonces por la Ley de Cosenos tenemos que: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cosC  c 2 = 62 + 102 − 2( 6 )(10 )cos 120°  1 c 2 = 36 + 100 − 2( 6 )(10 )  −   2 2 c = 196 Por lo tanto c = 14. Ejemplo 2. Un triángulo ABC tiene lados AB = de sus ángulos.

3 , BC = 1 y AC = 2. Determine las medidas

Solución. En este caso, tenemosque c = 3 , a = 1 y b = 2. Entonces aplicando la ley de Cosenos obtenemos:            2 = a 2 + b 2 − 2ab cosC   c
     3

( )

2

= 12 + 22 − 2(1)( 2 )cosC 1 2

⇒ cosC =

Por lo tanto ∠C = 60° . Por otra parte tenemos que:           a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
        (1) = 22 +
2

( 3)

2

− 2 ( 2)

( 3 ) cos A

 ⇒ cos A =

3 2

Por lo tanto ∠A = 30° . Así, calculamos eltercer ángulo: ∠B = 180° − ∠A − ∠C = 180° − 30° − 60° = 90° . Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.

Ley del Coseno

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Ejercicios
1. Muestra que en un triángulo de lados 4, 5, 6 uno de los ángulos es el doble del otro. 2. Si en un triángulo ABC se cumple ∠C = 2∠B , demuestre que c 2 = ( a + b )b . 3. La siguiente figura está formada por seis cuadrados de áreas S1 , S2 , S3, T1 , T2 , T3 . 1 Demuestre que S1 + S2 + S3 = (T1 + T2 + T3 ) . 3

4. ABC es un triángulo tal que a = 12, b + c = 18 y cos A = cos A = que a3 = b3 + c 3 .

7 . Demuestre 38

Ley del Paralelogramo
En un paralelogramo, la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los lados. En otras palabras, lo que tenemos es lo siguiente: Dado un paralelogramo ABCD,se cumple la relación: AC 2 + BD2 = AB2 + BC 2 + CD2 + DA2 . Lo cual podemos escribirla en la forma AC 2 + BD2 = 2( AB2 + BC 2 ) . Vamos a demostrarlo de la forma fácil, usando Ley de Cosenos.

Ley del Coseno D C

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A

B

Fijémonos en los triángulos ABC y ABD que contienen precisamente las diagonales AC y BD. Aplicando la ley de Cosenos en el triángulo ABC obtenemos: AC 2 = AB2 + BC 2 −2( AB)( BC )cos ABC (1) Ahora, aplicando la ley de Cosenos al triángulo ABD obtenemos: BD2 = AB2 + AD2 − 2( AB)( AD)cos BAD (2) Sumando (1) y (2) miembro a miembro obtenemos: (Usando que BC = AD y cos ABC = − cos BAD por ser ángulos suplementarios.) AC 2 = AB2 + BC 2 − 2( AB)( BC )cos ABC BD2 = AB2 + AD2 − 2( AB)( AD)cos BAD AC 2 + BD2 = 2 AB2 + BC 2 + BC 2 − 2( AB)( BC )cos ABC − 2( AB)( BC )( −cos ABC ) AC 2 + BD2 = 2 AB2 + 2BC 2 AC 2 + BD2 = 2( AB2 + BC 2 ) Con esto completamos la demostración de la Ley del Paralelogramo.

Teorema de Stewart
Si X es un punto sobre el lado BC (o su prolongación) de un triángulo ABC, tal que BX m = , entonces: XC n b 2m + c 2n a 2 mn − . AX 2 = m+n (m + n)2 Demostración. Considere un triángulo ABC y el punto X sobre el lado BC, tal que como muestra...
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