Estimacion de parametros

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
INFERENCIA ESTADÍSTICA. Trata de los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre una población utilizando los datos de una muestra. La figura siguiente indica la relación que existe entre la población y una muestra

Población
M ue str a
M u e s tre o

In fe r e n c ia

La inferencia estadística tiene dos procedimientos: estimaciónde parámetros y prueba de hipótesis. Mediante el procedimiento de estimación, se puede afirmar, por ejemplo, x la media de la muestra estima la media poblacional  s2 la variancia muestral estima la variancia de la población 2

ˆ Una notación es la que sigue: x  

ó

s2  2 ˆ

En este caso, la estimación de un parámetro es un solo punto, luego se define, ESTIMADOR PUNTUAL Es una funciónreal de los datos de una muestra, que no depende de ningún parámetro desconocido.
x1  x2    xn es una estadística y dada una muestra n particular se obtiene un valor llamado estimación.

Así, el estimador x 

ESTADÍSTICA APLICADA I

Ing. LUZ BULLÓN

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Se definirán algunas propiedades, las cuales los estimadores pueden tenerlas o no, las mismas que permitirán decidir quéestimador es mejor que otro. Estas propiedades son:     Insesgabilidad Eficiencia Consistencia Suficiencia

INSESGABILIDAD Todo estimador es una variable, varía dependiendo de la muestra que se observa, pero es razonable esperar que el promedio que produce al repetirse ~ sucesivas muestras sea igual al parámetro. Luego, se dice que un estimador  es un estimador insesgado de  si

E ˆ   
Seobserva que x es un estimador insesgado pues E x   , también se observa que s es sesgado pues E s
2
2

 
2

2  n 1  2 2     . El sesgo es la n  n 

cantidad   / n . Este sesgo negativo se desvanecerá cuando n se aproxime al 2 infinito. Luego, s es asintóticamente insesgado.

CONSISTENCIA Generalmente un estimador no es idéntico al parámetro que estima debido al ˆerror de muestreo, que es la diferencia    . Se espera que un buen estimador produzca estimaciones cercanas al parámetro o que por lo menos tengan una alta probabilidad de acercarse. Un buen estimador debe tener la propiedad de consistencia, que significa que podemos hacer que la probabilidad de que un estimador difiera del valor real del parámetro en más que una cantidad específica sea tanpequeña como deseamos incrementando el tamaño de muestra suficientemente. Así dada la constante arbitrariamente escogida >0, el estimador si consistente debe satisfacer





ˆ P( |    |   )  0 , cuando n 
EFICIENCIA
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ˆ ˆ Se dice que un estimador  1 es más eficiente que otro estimador  2 para estimar  si el primero tiene una menorvariancia que el segundo. Esta propiedad parece un concepto intuitivamente claro. Cuanto menor es la variancia de un estimador, tanto más concentrada es la distribución del estimador alrededor de su propia media, y, por consiguiente, tanto mejor es el estimador, siempre que su media sea igual al parámetro.

Menor variancia

Mayor variancia

30

40

50

60

70

80

90

100SUFICIENCIA Este concepto es más difícil que los anteriores. Intuitivamente, decimos que un estimador o una estadística es suficiente, si transmite tanta la información de la muestra como sea posible acerca del parámetro, de modo que no será proporcionada más información por cualquier otro estimador calculado de la misma muestra. Por ejemplo, sabemos que x no es el único estimador de Otros estimadorespodrían ser la mediana, el promedio del máximo y mínimo, el promedio de los cuartiles primero y tercero. Generalmente, ninguno de estos tres es mejor que x , porque ninguno ha usado toda la información de la muestra, por consiguiente ninguno es un estimador suficiente para  como lo es x .

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ESTIMACIÓN POR INTERVALO
La estimación puntual es a...