Estimaciones estadísticas

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ESTIMACIONES ESTADÍSTICAS Y PRUEBAS DE HIPOTESIS

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

DAVID DUQUE MAZA

WILLIAM WOOD
DOC.

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

CARTAGENA DE INDIAS D.T. Y C.
Octubre 19 De 2010

ESTIMACIONES O INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS

1. Para Grandes muestras (n > 30).
Si el estadístico S es la media muestralX, entonces los límites de confianza del 95% y 99% para la estimación de la media poblacional µ, vienen dados por
X±1.96σx y X±2.58σx respectivamente. Más generalmente, los límites de confianza están dados por X±zcσx donde zc depende del nivel de confianza que en cada caso se desee y puede obtenerse de la tabla anterior. Utilizando los valores de σx , se puede ver que los límites de confianzapara la media poblacional vienen dados por:
X±zcσn ①
En el caso de muestreo en una población infinita o si el muestreo es con reemplazamiento en una población finita y por
X±zcσnN-nN-1 ②

Si el muestreo es sin reemplazamiento en una población finita de tamaño N. En general, la desviación típica poblacional o es desconocida, de modo que para obtener los límites de confianza anteriores, seutiliza la estima muestral S o S.

2. Para Pequeñas muestras (z < 30).
n este caso utilizamos la distribución t para obtener los niveles de confianza. Por ejemplo si -t.975 y t.975 son los valores de T para los que el 2.5% del área se encuentra en cada "cola" de la distribución t, entonces un intervalo de confianza para T está dado por:
-t.975<(X-µ)nS <t.975 ③

De lo que sededuce que µ se encuentra en el intervalo
X-t.975sn<µ<X+t.975sn ④

Con el 95% de confianza. En general los límites de confianza para medias poblacionales están dados por
X±tcsn ⑤

Comparando ⑤ con ① se observa que para pequeñas muestras remplazamos zc por tc. Para n>30, zc y tc son realmente iguales. Debe anotarse que una ventaja de la teoría de pequeñas muestras (que lógicamentepuede emplearse para grandes muestras, es decir, es exacta) es que S aparece en ⑤ de modo que la desviación típica puede utilizarse en cambio de la desviación típica poblacional (que generalmente se desconoce) en ①.

ESTIMACIONES O INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
Si el estadístico S es la proporción de éxitos en una muestra de tamaño n≥30 extraída de una población binomial en la que pes la proporción de éxito (es decir, la probabilidad de éxito), los límites de confianza para p vienen dados por P±zcσP, donde P es la proporción de éxitos en la muestra de tamaño n. Con los valores obtenidos anteriormente de σP, se tiene que los límites de confianza para la proporción poblacional son dados por
P±zcpqn=P±zcp(1-p)n ⑥
Para el caso de muestreo en una población infinita, o conreemplazamiento en una población finita. Análogamente los límites de confianza son
P±zcpqnN-nN-1 ⑦
Si el muestreo es sin reemplazamiento en una población finita de tamaño N. Obsérvese que estos resultados se obtienen de ① y ② remplazando X por P y σ por pq.

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS Y SUMAS

Si S1 y S2 son dos estadísticos muestrales con distribuciones muestralesaproximadamente normales, los límites de confianza para la diferencia de los parámetros poblacionales correspondientes a S1 y S2 vienen dados por:

S1 – S2 ± Zc * σs1- s2 = S1 - S2 ± Zc * σs12+σs22

Mientras que los límites de confianza para la suma de los parámetros poblacionales son

S1+ S2 ± Zc * σs1+s2 = S1 + S2 ± Zc * σs12+σs22

Con tal de que las muestras sean independientes.

Por ejemplo,los límites de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales, en el caso de que las poblaciones sean infinitas, vienen dados por

X1- X2 ± Zc * σX1-X2 = X1 - X2 ± Zc * σ12n1+σ22n2

Donde X1, X2,σ1,σ2, n1,n2 son las respectivas medias, desviaciones típicas y tamaños de las dos muestras extraídas de las poblaciones.

Análogamente, los límites de confianza para la diferencia de...
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