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INTRODUCCION

En este tema estudiaremos las transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de las matemáticas.

Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que puede suceder.

Para el estudio de sistemas de ecuacioneslineales emplearemos dos herramientas matemáticas que facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes.

Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) - Teorema de Rouché-Fröbenius – debemos preguntarnos:

¿Tiene soluciones el sistema?, es decir,
¿Es compatible?Si tiene soluciones
¿Cuántas y cuáles son?

Visto esto, estudiar un sistema es:

DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER

índice
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| Transformaciones Lineales | 5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades. 5.2 Ejemplos de transformaciones lineales ( reflexión,dilatación, contracción, rotación) 5.3 Definición de núcleo o kernel , e imagen de una transformación lineal. 5.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal. 5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales. 5.6 Álgebra de las transformaciones lineales. 5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales. |

5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEALY SUS PROPIEDADES

Definición

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codo minio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Transformación lineal sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ɛ V un vector único Tv ɛ W yque satisface, para cada u y v en V y cada escalar ɑ

* Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

* Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x +2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) = mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R está definida como una función que tiene la forma f (x) = mx +b. así, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero.

Ejemplo 1:
Reflexión respecto al eje x. enR2 se define una función T mediante la formula Txy=x-y. Geométricamente, T toma un vector en R2y lo refleja respecto al eje x.
Esto se ilustra en la figura 5.1 una vez que se ha dado la definición básica, se verá queT es una transformación lineal de R2 enR2.

x
T(x, y)=(x, -y)
(x, y)
Y
0

Figura 5.1
El vector (x, -y) es la reflexión respecto al eje x del vector (x, y)

Ejemplo 2:

Transformación de un vector de producción en un vector de materia prima

Un vector fabricante hace cuatro tipos diferentes de producto, cada uno requiere tres tipos de materiales. Se denota a los cuatroproductos por P1, P2, P3 y P4 y a los materiales por R1, R2, R3. La tabla siguiente da el número de unidades de cada materia prima que se requiere para fabricar 1 unidad de cada producto.

Necesarios para producir 1 unidad de

Números de unidades de materia prima
| P1 | P2 | P3 | P4 |
R1 | 2 | 1 | 3 | 4 |
R2 | 4 | 2 | 2 | 1 |
R3 | 3 | 3 | 1 | 2 |
Surge una pregunta natural: si...
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