Estudiante

Ecuaciones

Problemas

Ejercicios resueltos

1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:

Determinar el largo de cada auto. Soluci´n: Sea x el largo de cada auto. o De acuerdo a la figura, la ecuaci´n que modela este problema es: o 3x + 4 = 2x + 7 Resolviendo esta ecuaci´n se obtiene que x = 3. o Respuesta: Cada auto mide 3 metros.

2. Un farmac´utico debe preparar 15ml degotas especiales para un paciente con glaue coma. La soluci´n debe tener 2% de ingrediente activo, pero s´lo tiene disponibles o o soluciones al 10% y al 1%. ¿Qu´ cantidad de cada soluci´n debe usar para come o pletar la receta?
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Soluci´n: Sea x = cantidad de ml de la soluci´n al 10% o o Para ayudar a entender el problema, se traza unesquema, como el siguiente.

Cantidad de ml en cada caso Cantidad de ingrediente activo en cada caso

A x 0.1x

B 15 − x 0.01(15 − x)

C 15 0.02 · 15

Luego, la ecuaci´n que modela este problema es: o 0.1x + 0.01(15 − x) = 0.02 · 15 Resolviendo esta ecuaci´n (lineal) se obtiene que x = o
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≈ 1.7.

Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la soluci´n al 10% y 8.3ml de la soluci´n al o o 1%,para obtener 15ml al 2%.

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3. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10 Km/h. Cinco minutos despu´s, un segundo corredor comienza en el mismo punto, e y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma pista. ¿Cu´nto tiempo a tardar´ elsegundo corredor en alcanzar al primero? a Soluci´n: Sea t el n´mero de horas que recorre el primer corredor. Como el o u 1 segundo corredor sale 5 minutos ( 12 horas) despu´s que el primero, el tiempo que e 1 recorre el segundo es (t − 12 ) horas. Esto conduce a la siguiente tabla. Velocidad Tiempo Corredores Km/h Horas Primero Segundo 10 13 t 1 t − 12 distancia Km. 10t 1 13(t − 12 )

Luego, como enel momento en que el segundo corredor alcanza al primero, ambos han recorrido la misma distancia, la ecuaci´n que modela este problema es: o 10t = 13(t − 1 ) 12
13 36

Resolviendo esta ecuaci´n (lineal) se obtiene que t = o

≈ 0.36horas = 21.6min.

Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en 21.6min, aproximadamente.

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4. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determinar el n´mero de unidades que deben vender para que la compa˜´ obtenga utilidades de u nıa $60 y calcular el margen por unidad. Soluci´n: Se tiene que o Utilidades = Ingresos totales − Costostotales Ingresos totales = Cantidad vendida × precio de venta Costos totales = Costos variables + Costos fijos Sea q = n´mero de unidades que deben ser vendidas. u Luego el modelo para el problema es: 10q − (6q + 80) = 60 Resolviendo esta ecuaci´n lineal se tiene que: o 10q − (6q + 80) 4q − 80 4q de donde se obtiene q = = = = 60 60 140 35

Respuesta: Es necesario vender 35 unidades para obtenerutilidades de $60.

5. Un grupo de j´venes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un o bote. A ultima hora, tres de los j´venes se arrepintieron, con lo cual la cuota de ´ o cada uno de los restantes j´venes subi´ en $1.500. o o
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(a) ¿Cu´ntos j´venes hab´ en el grupooriginal? a o ıa (b) ¿Cu´nto pag´ cada uno de los j´venes del grupo final? a o o Soluci´n: Sea n el n´mero inicial de j´venes. Ordenemos la informaci´n del o u o o problema en la siguiente tabla. N´mero de j´venes Valor cuota de c/u u o Situaci´n inicial o Situaci´n posterior o n n−3
14000 n 14000 n−3

Como la cuota inicial sube en $1500, se tiene que la ecuaci´n que modela este o problema es:...