estudiante

8

MECANICA DE LAGRANGE

8.1

INTRODUCCION

8.1.1
Coordenadas cartesianas
Un sistema dinámico de n partículas tiene 3n grados de libertad
requiere 3n coordenadas
cartesianas para especificar su configuración. El vector que contiene las 3n coordenadas cartesianas es:
x = {x 1 , x 2 , x 3 ,........, x n }

(8.1)

8.1.2
Restricciones y Grados de Libertad
Las restricciones limitanla configuración geométrica y el movimiento del sistema. Una restricción
genera reacciones y disminuye el número de grados de libertad del sistema.

Supóngase un sistema de:
• n partículas
• m restricciones

3n grados de libertad
r = (3n-m) grados de libertad

requiere r coordenadas para
especificar configuración

8.1.3
Fuerzas
Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dadot, actúa una fuerza f. En coordenadas
cartesianas es:
f = {f1 , f 2 , f 3 ,........, f n }

8.2

(8.2)

COORDENADAS GENERALIZADAS

8.2.1
Definición
Conjunto de r coordenadas qk que, junto con las ecuaciones de restricción, permiten especificar
unívocamente la configuración de un sistema de r grados de libertad.
q = {q 1 , q 2 , q 3 ,..., q k ,....., q r }

q = {q 1 , q 2 , q 3,..., q k ,....., q r }
& & &
&
&

Coordenadas generalizadas
Velocidades generalizadas

(8.3)

Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una esfera de radio a:
x2+y2+z2-a2=0

•

La ecuación de la restricción es

•

La partícula tiene 2 grados de libertad
Se pueden usar como coordenadas generalizadas las
coordenadas esféricas (θ,φ) o las cilíndricas (φ,z).

MecanicaRacional - UTFSM - Mecámica de Lagrange

1

Nótese que el par (x,y) no sirve como coordenadas generalizadas en este ejemplo, ya que dado sus
valores, existen dos valores de z que satisfacen la ecuación de restricción.
8.2.2
Transformación de coordenadas
Conocidas las ecuaciones de restricción, es posible expresar cualquiera de las componentes del vector
de coordenadas cartesianas entérminos de las coordenadas generalizadas:
x j = x j (q, t )

j = 1,2,3,.....,3n

(8.4)

Las restricciones están incluidas en forma implícita en estas relaciones.

8.3

COMPONENTES GENERALIZADAS DE LAS FUERZAS

8.3.1
Desplazamiento Virtual
Cambio ficticio, infinitamente pequeño, en la configuración del sistema en un instante cualquiera t.
Este cambio debe ser compatible con lasrestricciones del sistema y se supone que ocurre en t = cte. El
vector que contiene los desplazamientos virtuales correspondientes a cada una de las coordenadas es:
δ x = {δx 1 , δx 2 , δx 3 ,........, δx n }

(8.5)

8.3.2
Trabajo Virtual
Supóngase un sistema sobre el cual, en un instante dado t, actúa una fuerza F. Supóngase que en ese
instante se impone un desplazamiento virtual δx sobre elsistema. El trabajo virtual δW efectuado
por las fuerzas es:
δW = F • δ x =

∑ F j δx j

j = 1,2,3,.....,3n

(8.6)

El vector de fuerzas externas F en componentes cartesianas se separa en un vector f que contiene las
fuerzas activas y un vector f’ que contiene las reacciones. El vector de fuerzas es entonces:
F = f + f'

(8.7)

8.3.3
Sistema holonómico
Aquel que en que todas susrestricciones cumplen con:

Toda configuración posible del sistema satisface una ecuación del tipo φ(x,t) = 0
Para cualquier desplazamiento virtual compatible, el trabajo efectuado por las reacciones es
nulo.
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2

En general, si existen m restricciones, cada una asociada a una ecuación del tipo φk(x,t) = 0 , aparecen
m reacciones.
Un sistemaholonómico es aquel cuyas restricciones son todas holonómicas.
considerará sólo sistemas de este tipo.

En adelante se

El trabajo virtual de las fuerzas en un sistema holonómico es:
δW = F • δ x =

∑ Fj δx j = ∑ (f j + f j ') δx j = ∑ f j δx j + ∑ f j ' δx j

j = 1,2,3,.....,3n

(8.8)

Los dos términos del lado derecho de la ecuación representan el trabajo virtual de las fuerzas...