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Lema de Zorn
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El Lema de Zorn es un axioma de la Teoría de los Conjuntos, normalmente presentado como:
Si, en un conjunto no-vacío y parcialmenteordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tiene una cuota superior, entonces el conjunto tiene uno elemento maximal.
El Lema de Zorn es equivalente al axioma de la elección.
El nombre hacereferencia al matemático Max Zorn, pero su primera formulação se debe al matemático polaco Kazimierz Kuratowski.
Ejemplo de una aplicación
Como un ejemplo simple de una aplicación del Lema de Zorn,vamos a probar que todo espaciovectorial posee una base. Para esto, basta mostrar que todo espaciovectorial contiene un conjunto de vetores linearmente independientes (basta tomar un conjunto unitário deun vetor no nulo), y que todo conjunto linearmente independiente es un subconjunto de una base.
Esta segunda parte será probada por el Lema de Zorn. Sea L un conjunto linearmente independiente devetores de un espacio vectorial V. El trabajo es:
Construir un conjunto y definir una relación de orden parcial. Como deseamos aumentar un conjunto linearmente independiente, se hace naturaldefinir . Siendo X un conjunto de conjuntos, la orden parcial natural en X es la relación . X no es vacío, porque .
Probar que todo subconjunto totalmente ordenado de X tiene una cuota superior. Endetalles, eso es hecho así:
Sea totalmente ordenado por la relación .
, obviamente, satisface
Como L es un subconjunto de todo elemento de X, entonces L es un subconjunto de todo elemento de T.Luego,
La prueba de que Q es linearmente independiente es simple pero trabalhosa:
Sea una combinación linear de elementos distinguidos de Q.
Como Q es una unión de conjuntos, tenemos que .
Como Tes totalmente ordenado, de entre los existe uno de ellos Qmax que es superconjunto de todos los otros.
Entonces tenemos que , por lo tanto es una combinación linear de vetores de .
Como, por...