Estudiante

MODELOS CONTINUOS
IMPORTANTES

Distribución uniforme
La variable aleatoria continua X tiene una
distribución uniforme en el intervalo [a,b]
si su función de densidad es:

1
f (x) =
, a ≤ x ≤b
b−a
Se denota X ~ U(a, b)

Distribución uniforme
Si la variable aleatoria continua X tiene una
distribución uniforme en el intervalo [a,b],
entonces su función de distribución
acumuladaes:

 1 
F ( x) = 
( x − a) , a ≤ x ≤ b
b−a
E(X) = (a + b) / 2

V(X) = (b - a)2 / 12

Ejemplo
El tiempo (en minutos) X que demora
una llamada por teléfono en cierta
central sigue una distribución uniforme
entre 0 y 20 minutos.
a) Encontrar la probabilidad de que una
llamada demore entre 3 y 8 minutos.
b) Si una llamada demoró más de 3
minutos, hallar la probabilidad de quedemore menos de 8 minutos.

… sigue el ejemplo
c) Si se hacen 12 llamadas, hallar la
probabilidad de que por lo menos 4 de
ellas demoren entre 3 y 8 minutos.
d) Si el costo por llamada, en nuevos
soles, es: C(X)=0.50+0.25X+0.10X2
Encontrar el costo esperado por
llamada.

Solución:
X = tiempo de duración de la llamada (en
minutos)
1
X ~ U(0,20) F ( x ) =
x , 0 ≤ x ≤ 20
20

a )P (3 < X < 8 ) = F (8 ) − F (3 )
8
=
20

3
−
20

= 0 , 25

La probabilidad de que la llamada dure
entre 3 y 8 minutos es 0,25

… sigue solución
P ( 3 < X < 8)
b ) P ( X < 8 / X > 3) =
P ( X > 3)
F (8) − F (3) 0,25
=
=
= 0,2941
1 − F (3)
0,85
Si la llamada ya demoró mas de tres minutos, la
probabilidad de que demore menos de ocho
minutos es del 29.41%

… siguesolución
c) E = { llamada demore entre 3 y 8
minutos }
p = P(E) = P( 3 < X < 8 ) = 0,25
n = 12
Y = número de llamadas que demoran
entre 3 y 8 minutos, de las 12
realizadas.
Y ~ B(12; 0,25)

… sigue solución
P(Y = y) = C12 (0,25) y (0,75)12− y , y = 0, 1,..., 12.
y
P (Y ≥ 4 ) = 1 − P (Y < 4 )
3

=1−

∑ P (Y = y ) = 0 ,3512
y=0

La probabilidad de que al menos cuatro de las 12llamadas realizadas demoren entre 3 y 8 minutos
es de 0,3512.

… sigue solución
d ) E ( C ( X )) = E ( 0 , 50 + 0 , 25 X + 0 ,10 X

2

)

= 0 , 50 + 0 , 25 E ( X ) + 0 ,10 E ( X

2

)

Pero, X ~ U(0,20), entonces:
0 + 20
E(X ) =
= 10 minutos
2
( 20 − 0 ) 2
V (X ) =
= 33 , 33 minutos
12
E(X

2

) = V ( X ) + ( E ( X ))

2

2

= 133 , 33

… sigue solución
E (C ( X ))= E (0,50 + 0,25 X + 0,10 X )
2

= 0,50 + 0,25 E ( X ) + 0,10 E ( X )
2

= 16,33 nuevos soles.
El costo medio por llamada es S/16,33
(Notar que no sería correcto calcular el costo del
valor esperado : C ( E ( X )) = C (10) = 13)

Distribución exponencial
La variable aleatoria X tiene una
distribución exponencial con parámetro β
(β > 0) si su función de densidad es:

f ( x) = β e− βx

Se denota X ~ Exp(β)

, x≥0

Distribución exponencial
Si la variable aleatoria X tiene una
distribución exponencial con parámetro
β, entonces la función de distribución
acumulada de X es:

F ( x) = 1 − e
E(X) = 1 / β

− βx

, x≥0

V(X) = 1 / β2

Propiedades: Distribución exponencial

Si X~Exp( β ),
a) P[ X > k ] = e

entonces,
− kβ

b) P[ X > k + t / X > k ]= P[ X > t ]

Ejemplo
Si la duración de cierto tipo de
transistor se modela con una variable
exponencial con una media de 50
horas, encontrar la probabilidad de que
un transistor de ese tipo dure entre 20
y 70 horas.

Solución:
X = duración (en horas) del transistor

X v .a . exp( β ) → µ X = E ( X ) = 1 / β →
50 = 1 / β → β = 0 . 02
F ( x ) = 1 − e − 0 , 02 x ,

x≥0

P ( 20< X < 70 ) = F ( 70 ) − F ( 20 )
= (1 − e − 1, 4 ) − (1 − e − 0 , 4 ) = 0 , 4237

La probabilidad de que el transistor dure entre
20 y 70 horas es 0,4237.

Distribución exponencial y
distribución de Poisson
Si el número de éxitos en un intervalo de
tiempo ocurre según una distribución de
Poisson con parámetro λ, entonces, el
tiempo entre dos éxitos consecutivos
(medido en las...