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MATE 2330
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Capítulo 11: Vectores y Geometría en el Espacio
Sec. 11.1: Vectores en el Plano
Introducción: En esta sección escribiremos un vector en forma componente. Ejecutaremos operaciones
con vectores y explicaremos su significado geométrico. Escribiremos un vector como la combinación de
vectores unidadesestándares y utilizaremos el concepto de vectores para resolver problemas de fuerza y
velocidad.
Definición: En términos simples, un vector es una cantidad que tiene una medida de longitud y dirección.
Es frecuente ver a un vector representado como una flecha en la cual el largo de ésta representa la longitud
y el extremo final la dirección. Muchas cantidades en física se pueden representar convectores como la
velocidad y la fuerza. Los vectores se suelen representar con letras en “negritas”, (v) o con un símbolo
v
sobre la letra ( v ). Cuando se tiene un vector cuyo punto inicial en el plano cartesiano es la coordenada
(0, 0) y su punto final es cualquier punto del plano, se le conoce como el vector posición o se dice que el
vector está en su forma componente. En estos casos como elpunto inicial es (0, 0) , sólo se nombra la
coordenada final (x f , y f ) y para que esta notación no se confunda con la notación de coordenada se
representa al vector como v= x f , y f . También, se representa al vector de la forma xi + yj donde i
representa una unidad recorrida en el eje de “x” y j representa una unidad recorrida en el eje de “y”. Por
lo que el vector 2, − 3 = 2i − 3j y en elplano se representa:
y
x

Geométricamente este vector, siempre y cuando no cambie su magnitud y dirección, se puede dibujar en
cualquier parte del plano, por ejemplo:
y

x

Claro está, ya estos vectores no serían un vector posición o ya no estarían en forma componente, sin
embargo son el mismo vector.
Vector Posición o en Forma Componente: Sea v un vector cuyo punto inicial es P ( x1, y1 ) y su punto
final es Q (x 2 , y 2 ) . La forma componente de v o el vector posición v está dada por v = x2 − x1, y 2 − y1 .
11.1 Vectores en el Plano- Página 1

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Ejemplo 1: Sea v un vector cuyo punto inicial es (−1,1) y su punto final (1, 4) . Determine la forma
componente de v. Haga una representación geométrica de la situación.
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Suma de Vectores:
Geométricamente, lasuma de los vectores v y w se define como sigue: se posicionan los vectores v y w
de tal manera que el punto final de v coincida con el punto inicial de w. El vector v + w es el vector cuyo
punto inicial coincide con el de v y su punto final con el de w.
w
v

v + w

Algebraicamente, si v y w están en su forma componente, digamos v = v1 , v2
y w = w1 , w2
entonces v + w = v1 + w1 , v2 + w2. Aquí se puede apreciar que es suficiente sumar los componentes
correspondientes.
Ejemplo 2: Sea v = 1, 2

y w = 3, 1 . Encuentre v + w y represente esto en el plano.

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Algunas Propiedades de los Vectores:
Para cualesquiera dos vectores en el plano cartesiano v = v1 , v2 y w = w1 , w2 se cumple que:
1. v + w = w + v
: Propiedad Conmutativa de la Suma
2. u + (v + w) = (u + v) + w :Propiedad Asociativa de la Suma
3. v + 0 = 0 + v = v

: Exite un Elemento Identidad para la Suma

4. v + (− v) = 0

: Existe el opuesto

11.1 Vectores en el Plano- Página 2

Multiplicación Escalar de Vectores:
Cuando trabajamos con vectores nos referimos a los números reales como escalares. Si α ∈ R es un
escalar y v es un vector, el producto escalar α v está definido como sigue:
1.Si α > 0 , el producto escalar α v es el vector cuya magnitud es α veces v.
2. Si α < 0 , el producto escalar α v es el vector cuya magnitud es α veces la magnitud de v y
cuya dirección es opuesta a v.
3. Si α = 0 o si v= 0 , entonces α v= 0 .
Teorema: Dos vectores v = v1 , v2
y w = w1 , w2
son iguales si y sólo si sus componentes
correspondientes lo son. O sea v= w si y sólo si v1 = w1...