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SUPERFICIES CONICAS
Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.


ELIPSE
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que nosea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
α < β β
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.





PARÁBOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de laparábola
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.


Ecuación de la Parábola

Laecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto es:

y2 = 2px

Demostración:






La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:


Elevando al cuadrado:





-px + y2 = px Þ y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

· Si el eje es horizontaly el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es:
y2 = -2px

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es:
x2 = 2py

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es:
x2 = -2py

Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto(x0, y0) su ecuación será, según los casos:
· Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0)

· Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0)

· Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0)

· Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0)


Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipoAx2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.


ELIPSE
 
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.


Elementos de la elipse
Focos: Son los puntos fijos F yF'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con losejes: A, A', B y B'.
Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.



Relación entre la...