Estudiante



TAREAS A DISTANCIA

Bloque II

Apreciados alumnos:

En este bloque hemos llegado a conocer a los determinantes y su aprendizaje, asimismo sus propiedades, de igual manera se vio como emplearlos para calcular inversas y resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Por lo tanto hemos aprendido las herramientas esenciales del algebra y sus aplicaciones. Así que de lamanera más atenta les pido que resuelvan los siguientes problemas.




I. En los problemas del 1 al 2 calcule el determinante indicado




1.




det = (−1)[(1)(6) − (4)(5)] − (1)[(2)(6) − (4)(1)] + (0)[(2)(5) − (1)(1)] =
= (−1)[(6) − (20)] − (1)[(12) − (4)] + (0)[(10) − (1)]
= (−1)[(−14)] − (1)[(8)] + (0)[(9)]
= 14 − 8 + 0 = 6




-1
0
6

2.

0

2

4

1
2
-3det = (−1)[(2)(−3) − (4)(2)] − (0)[(0)(−3) − (4)(1)] + (6)[(0)(2) − (2)(1)] =
= (−1)[(−6) − (8)] − (0)[(0) − (4)] + (6)[(0) − (2)]
= (−1)[(−14)] − (0)[(−4)] + (6)[(−2)]
= 14 + 0 − 12 = 2



 


II. Calcular de dos de los menores de una matriz de 3 X 3


A=



Calcule M22 y M31


Calculo de los menores de una matriz.

5 2
M22 = [(5)(3)-(5)(2)]=55 3



M 31  


[(-2)(3)-(2)(2)]= -10



A=



Calcule M13 y M32


M13 =
−2 −1
7 12
= (-24) – (-7)= -17
 




M 32 =
3 4
−2 5
III. Demostrar las propiedades de los determinantes. Para hacer las demostraciones construye los determinantes.


1. Propiedad 1

Si cualquier renglón o columna de A , es el vector cero,entonces det A = 0

Demostrar det A=0 y det B=0





A =




Demostración:
det A= (4)(0) – (0)(2) =0

 


1
0
3

Sea B=
2
0
2
Un determinante con una columna de ceros

3
0
1

Demuestre que el determinante de B es igual a cero.


Demostración:
det B=(1)[(0)(1) − (2)(0)] − (0)[(2)(1) − (2)(3)] + (3)[(2)(0) − (0)(3)]
= (1)[(0) − (0)] − (0)[(2) − (6)] +(3)[(0) − (0)]
= (1)[(0)] − (0)[(−4)] + (3)[(0)]
= 0 + 0 + 0 = 0
 


2. Propiedad 2
Si el i- ésimo renglón o la j-ésima columna de A se multiplican por la constante c, entonces det A se multiplica por c.


Demostración:
1 -1 2 Entonces el determinante de A= 16
A = 3 1 4 Si el segundo renglón se multiplica X 3
0 -2 5 se tiene B.


Demostrar det B= 3 det (A)=




=  1  -­‐  (-­‐1)  +2    

=  1  +1  +2    =  (15+24)+(45)+2  (-­‐18)  
=  39+45-­‐36  =  48  
Como det A=16 y det B = 48

 
3. Propiedad 3
Supóngase que A , B y C son identicas excepto por la j-ésima columna, y que la j-ésima columna de C es igual a la suma de las j-ésimas columnas de A y B. Entonces
det C = det A + det BDemostración:

1
-1
2

1
-2
2
A= 3
1
4
B=
3
4
4
0
-2
5

0
5
5

Demostración:


1
-1
2

1
-2
2
A=
3
1
4
B=
3
4
4

0
-2
5

0
5
5

C =

   


= 1 - (-1) +2


= + 1 + 2

= (5+8) + (15) + 2 (-6)


= 13 + 15 -12


= 16




= 1 - (-2) +2

= + 2 + 2= (20-20) + 2(15) + 2 (15)
= 0+ 30 + 30


= 60




= 1 - (-3) +2

= + 3 + 2

= (25-12) + 3 (15) + 2 (9)


= 13 + 45 + 18


= 76


Como det A=16, det B=60 y det C=76 det C = det A + det B



4. Propiedad 4
Al intercambiar dos renglones (o columnas ) cualesquiera de A, el determinante de la matriz así obtenida es igual a determinante de A multiplicado por-1.


1
0
3

A=

0

1

4

2
1
0


Intercambiando el primero y tercer renglón se tiene B Intercambiando la primera y segunda columna, Se tiene C.


Demostrar det A y det (-1)B = (-1) C




   B = y C =



= 1 - (0) +3
= + 0 + 3

= (-4) + 0 + 3 (-2)


= -4-6


= -10


= 2 - (1) +0...