Estudiante
Páginas: 3 (532 palabras)
Publicado: 5 de noviembre de 2012
La ecuación de Poisson se define como:
Donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas.
Partiendo de:
∇ *D = ρv (forma punto de Ley de Gauss)
D =εE
E =−∇ V
por sustitución de (3) en (2) y luego en (1) se tiene:
∇ *D = ∇ * (εE) = −∇ *(ε∇ V) = ρv
Ésta es la ecuación de Poisson para un medio NO homogéneo (ε ≠ cte), y se convierte en la ecuaciónde Laplace para un medio NO homogéneo si ρv= 0.
Para una región homogénea (para la cual ε es constante):
De la definición de divergencia y gradiente:
En una región libre de carga de espacio,este se convierte en la ecuación de Laplace.
Expresando la laplaciano en diversos sistemas de coordenadas para tomar ventaja de la simetría de un cargo de distribución de ayuda a la solución parael potencial eléctrico V.
Como:
SOLUCION DE POISSON Y LAPLACE
Antes de resolver, se debe tener presente los tres elementos que describen que la solución será única:
a.) La ecuacióndiferencial apropiada:
b.) La región o superficie de solución.
c.) Las condiciones de frontera.
PROCEDIMIENTO DE SOLUCION.
1. Resolver Poisson (ρ ≠ 0) o Laplace (ρ = 0) aplicando:
a.Integración directa (o inspección) cuando V solo dependa de una coordenada (x,y,z,ρ,θ,Φ,r).
b. Separación de variables si V no es función de una sola variable.
2. Aplicar las condiciones de frontera paradeterminar la solución única para V.
3. Luego de obtener V que es potencial.es el voltaje en última
Potencial de una Esfera de Cargas Uniformes
Se va a explorar el uso de las ecuaciones dePoisson y Laplace para una esfera de carga uniforme. En coordenadas polares esféricas, la ecuación de Poisson toma la forma:
| pero puesto que aquí hay una simetría esférica completa, las derivadasrespecto a θ y φ deben ser cero, quedando la formaExaminando primero la región exterior a la esfera, se aplica la ley de Laplace. |
Como el potencial cero es arbitrario, es razonable elegir...
Donde es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas.
Partiendo de:
∇ *D = ρv (forma punto de Ley de Gauss)
D =εE
E =−∇ V
por sustitución de (3) en (2) y luego en (1) se tiene:
∇ *D = ∇ * (εE) = −∇ *(ε∇ V) = ρv
Ésta es la ecuación de Poisson para un medio NO homogéneo (ε ≠ cte), y se convierte en la ecuaciónde Laplace para un medio NO homogéneo si ρv= 0.
Para una región homogénea (para la cual ε es constante):
De la definición de divergencia y gradiente:
En una región libre de carga de espacio,este se convierte en la ecuación de Laplace.
Expresando la laplaciano en diversos sistemas de coordenadas para tomar ventaja de la simetría de un cargo de distribución de ayuda a la solución parael potencial eléctrico V.
Como:
SOLUCION DE POISSON Y LAPLACE
Antes de resolver, se debe tener presente los tres elementos que describen que la solución será única:
a.) La ecuacióndiferencial apropiada:
b.) La región o superficie de solución.
c.) Las condiciones de frontera.
PROCEDIMIENTO DE SOLUCION.
1. Resolver Poisson (ρ ≠ 0) o Laplace (ρ = 0) aplicando:
a.Integración directa (o inspección) cuando V solo dependa de una coordenada (x,y,z,ρ,θ,Φ,r).
b. Separación de variables si V no es función de una sola variable.
2. Aplicar las condiciones de frontera paradeterminar la solución única para V.
3. Luego de obtener V que es potencial.es el voltaje en última
Potencial de una Esfera de Cargas Uniformes
Se va a explorar el uso de las ecuaciones dePoisson y Laplace para una esfera de carga uniforme. En coordenadas polares esféricas, la ecuación de Poisson toma la forma:
| pero puesto que aquí hay una simetría esférica completa, las derivadasrespecto a θ y φ deben ser cero, quedando la formaExaminando primero la región exterior a la esfera, se aplica la ley de Laplace. |
Como el potencial cero es arbitrario, es razonable elegir...
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