Estudiante

Modelo de Malthus.

Se atribuye a Thomas Malthus, fundador de la demografía, el desarrollo y el análisis del primer modelo de de evolución poblacional P(t), según el cual:P’(t) = kP(t)

Es decor, en cada instante la rapidez de cambio de la población es proporcional al total de la población presente. Por ejemplo, si P(t)>0 y P(t)creciente, esto implica que k > 0.

Resolvemos la ecuación diferencial:

dPdt=kP → dPP=k dt

Integrando se tiene:

dPP=k dt→lnP=kt+C→P=ekt+C=ekteC→Pt=Cekt
SoluciónGeneral

Es común conocer la población inicial, P(0)=P0. Con esto podemos calcular la constante C:

P0=P0=Cek·0=C→C=P0→Pt=P0ekt

Para calcular k, si es que el ejercicio no nosda el valor, es necesario conocer la cantidad de población existente en un tiempo t1 > t0, digamos P(t1) = P1:

Pt1=P1=P0ekt1→P1P0=ekt→lnP1P0=kt1→k=lnP1-lnP0t1Ejercicio:

En un cultivo de bacterias, se estimó que inicialmente había 150 bacterias y 200 después de una hora. Suponiendo una rapidez de crecimiento roporcional a la cantidad dbacterias presente, determinar:

1. La cantidad de bacterias después de t horas.
2. La cantidad de bacterias después de 2h.
3. El tiempo que debe transcurrirpara que la población se triplique.

Desarrollo:

1. Si P(t) es la cantidad de bacterias presentes después de t horas, entonces P(0) = P0 = 150 y P(1) = P1 = 200- Luego,P(t) está dada por:

Puesto que Pt=Cekt, se tiene:

P0=150→Ce0=150→C=150→Pt=150ekt

P1=200→150ek=200→ek=200150=43→k=ln43≈0,2877

Pt=150e0,2877t
Cantidad de bacteriasen t horas

2.
P2=150e2×0,2877≈266,66
P2≈267 bacterias

3.
Pt=3P0→150e0,2877t=3×150→e0,2877t=3

0,2877t=ln3→t=ln30,2877≈3,8186 h→t≈3 horas, 49 minutos, 7 segundos