Estudiante

Transformada Z
• Definición • Funciones Elementales • Propiedades Elementales • Transformación Inversa • Aplicaciones

SISTEMAS DISCRETOS
T

Trans. de Laplace

Trans. Z

x t 

y t 

x z

y  z

TRANSFORMADA Z
Definición
Sea x *  t    T  t  x  t 
 T  kT 


 T  t      t  kT 
k 0


T 2T



kT

3T

t



 x *  t   X *  s      t  kT  x  t  e
k 0 0

 

 st

dt   x  kT  e kTs
k 0



X  z   X *  s  s  ln z   x  kT  e
T k 0



 kT

ln z T

  x  kT  z  k
k 0





X  z    x  kT  z  k
k 0



TRANSFORMADA Z
Definición
La Transformada Z unilateral se define a partir de la siguiente ecuación:
X z 

Z

 x  t    

Z

 x kT     x  kT  z  k  
k 0



Donde:
x t 
x  kT  o x  k 

Es la función continua en el tiempo Es la función discreta o conjunto de muestras de x(t) Es el periodo de muestreo Es la variable compleja de la transformación z  re j

T
z

TRANSFORMADA Z
Funciones elementales
• Escalón Unitario
1 , t  0 x t    0, t  0 1 , k  0,1, 2,  x k    0, k  01

1

X  z 

Z

1  x  t     z  k  1  1  z12    z   1  z 1
k 0



TRANSFORMADA Z
Funciones elementales
• Exponencial
e  at , t  0 x t    0, t  0
x t 

e  akT , k  0,1, 2, x  kT    0, k  0
x k 

t

kT

X  z 

Z

e 

 akT

  e 
k 0



 akT

z

k

   eaT z 
k 0



k



1 e z aT

1

1



z z  e  aT

TRANSFORMADA Z
Funciones elementales
• Coseno
x  t   cos t , t  0 x t  x  k   cos  k , k  0,1, 2, 012 x t 

t

t

X  z 

Z

cos  k  

1 2

Z

1 z z  e j k  e  j k        2  z  e j z  e j 

z  z  cos   X  z  2 z  2 z cos   1

TRANSFORMADA Z
Propiedades y Teoremas
• Linealidad

Z x  k    x  k   Z x  k    Z x  k       
1 2 1

2



Z Z

 x1  k    x2  k      x1  k    x2  k   z    
k 0



k

   x1  k  z  k   x2  k  z  k 
k 0



 x1  k    x2  k      x1  k  z  
k 0



k

   x2  k  z  k  sX 1  z    X 2  z 
k 0



 Z  x  k    x  k  Z x  k    Z   
1 2
1

F  z   x2  k    

Z  f  k   

TRANSFORMADA Z
Propiedades y Teoremas
• Inversión en el Tiempo

Z
X  z   x k  z
k 0  k

1  x  k   X     z


0

si se toma x  k  
0 n

Z  x  k    x  k  z  
k 0



k

1 CV: - k  n   x  n  z n   x  n    z n   n  

Z

1 x  k   X     z

TRANSFORMADA Z
Propiedades y Teoremas
• Multiplicación por n o Diferenciación en z
dX  z  k  k    z  kx  dz
d dz

Z
X  z   x k  z
k 0  k

dX  z     kx  k  z  k 1   dz k 0
dX  z   z k    kx  k   z dz k 0

 kx  Z k  k    z dXdz z  

TRANSFORMADA Z
Funciones elementales
• Rampa
t , t  0 x t   0, t  0 X  z    kz  k 
k 0 

k , k  0,1, 2, x k    0, k  0

xk

k

?
Z

dX *  z   kx*  k     z   dz

;

1 , k  0 x k    0, 0 k  0
*

dX *  z  d  1  z 1 z X  z   z  z     dz d dz  1  z 1  1  z 1  z  12 d

TRANSFORMADA Z
Propiedades y Teoremas
• Multiplicación por a k ó Escalamiento en Frecuencia
 

Z

ax  k    a x  k  z  
k k k 0

k

  x  k   a 1 z   k 0

k

Z
Si a  e j

z a k x  k   X     a

Z

e j k x  k    X  e j z   

Se rotan todos los polos y ceros un ángulo

TRANSFORMADA Z
Propiedades y Teoremas
• Traslación hacia la Derecha

Z  x  t  nT   z  


n

X  z
 k n

Z Z

 x  t  nT    ...