Estudiante

Ecuación reducida de la parábola
El eje de la parábola coincide con el de abscisas y el vértice con el origen de coordenadas

El eje de la parábola coincide con el de ordenadas y el vértice con el origen de coordenadas

Parábola con eje paralelo a OX y vértice distinto al origen

Parábola con eje paralelo a OY, y vértice distinto al origen

Excentricidad

Ecuación reducida de la elipseElipse con los focos en el eje OY

Elipse con eje paralelos a OX y centro distinto al origen

Elipse con eje paralelo a OY y centro distinto al origen

Excentricidad

Asíntotas

Ecuación reducida de la hipérbola
F'(-c,0) y F(c,0)

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY
F'(0, -c) y F(0, c)

Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX, y centro distinto al origenDonde A y B tienen signos opuestos.
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY, y centro distinto al origen

Ecuación de la hipérbola equilátera

Asíntotas
,
Excentricidad

Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

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Si se obtiene la rama derecha de la hipérbola; mientras que si  se obtiene la otra rama.  Principio del formulario

Final del formulario

2. Dada la parábola que tiene por ecuación 
x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.
Solución:
la ecuación x2 = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.
 
| Como p < 0, la parábola se abre haciaabajo.
El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2).
La ecuación de la directriz es la recta , 
es decir,  |
 Fig 6.5.2

3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola  (1).
Determine el foco y la ecuación de la directriz
Solución:
Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto Bpertenece a la parábola.
 
 
| Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1. con lo cual  En consecuencia, el foco se encuentra localizado 
en el punto  y la ecuación de la directriz 
es la recta  |

fig 6.5.3

4. Dada la ecuación (y’)2 = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.
Solución:
Laecuación (y’)2 = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La  parábola  se abre hacia la derecha  y  además  2p = 4, de  donde p = 2.  Con lo cual
= distancia del vértice al foco.
 
 
|
 Fig. 6.5.4.
Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:
de donde 
 
Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial,se obtiene:

Esta  última  ecuación,  representa  una parábola  cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.
5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de  ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).
Solución:
Como la directriz es larecta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.
El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.
Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).
 |
 fig. 6.5.5.
Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:
ó 
6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:
Se debe expresar la ecuación en la forma:
(1)
Así, 

(Completación de cuadrados)
(2) (Factorizando)
Comparando (1) y (2) se deduce q ue: 
 
 
 
 
| Así...