Estudiante

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Ejercicios propuestos de Álgebra Lineal y Exámenes Resueltos
Álgebra Lineal (B) ICM-00604
Ramiro Javier Saltos Atiencia (Ayudante Académico) rjsaltos@espol.edu.ec Guayaquil- Ecuador

08

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)

Deber # 1: Transformaciones Lineales
Determine si lassiguientes funciones son transformaciones lineales. Justifique adecuadamente su respuesta 1. T : R 2 → P1

a T   = (a + 2b) x + (5a − b) b  
a2 − b   T ax 2 + bx + c =  2a + b   0   

2. T : P2 → R 3

(

)

3. T : R → R
3

 x 1 4    T  y  = det 2 5 z 3 6   
 p ( 0)  p ( 2)

x  y z 
p (1)   ; p( x) ∈ P2 p (3)  

4. T : P2 → M 2 x 2 T [ p (x) ] =  

5. T : M nxn → R T ( A) = det( A) ; A ∈ M nxn 6. T : M nxn → R T ( A) = traza ( A) ; A ∈ M nxn 7. T : P2 → M 2 x 2 T ax 2 + bx + c =  3 4 ⋅  b      8. T : D2 x 2 → R 2 T  0 

(

)

1 2  a b   c 

 a 0  a + b   = b  a + b    

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Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)

Deber # 2:Núcleo e Imagen de Transformaciones Lineales
Determine las condiciones, una base y la dimensión del núcleo y de la imagen de cada una de las siguientes transformaciones lineales

1. T : R → R
2

3

 a+b  a   T   =  a −b   b   2a + 2b   
 2a + 3b     a−b 

2. T : P1 → R 2 T (ax + b ) =  

3. T : S 2 x 2 → D2 x 2 T  b 

0  a b a + b − c =  c  0 3a − b   

4. T : P2 → M 2 x 2 T ax 2 + bx + c =  1 1 b    5. T : S 2 x 2 → P2

(

)

1 1 a b   c 

a b 2 T  b c  = (a + 2b + 3c )x + (4a + 5b + 6c )x + (7 a + 8b + 9c )     p ( 0)  p ( 2)
p (1)   ; p( x) ∈ P2 p (3)  

6. T : P2 → M 2 x 2 T [ p ( x) ] =  

7. T : R 2 → P1

a T   = (a + 2b) x + (5a − b) b  

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Algebra Lineal (B)

Deber # 3: Matriz Asociada a una Transformación Lineal
Determine la representación matricial de cada transformación lineal respecto a las bases dadas

1. T : R → R
2

3

 a+b  a   T   =  a −b   b   2a + 2b   

 1   0   0    1   0          a) B1 =   ,    y B2 =  0 , 1 , 0        0   1    0   0   1          1  1   1    1   3          b) B3 =   ,    y B4 = 1 ,  1  ,  0    2   4   1  0   0           2a + 3b     a−b 

2. T : P1 → R 2 T (ax + b ) =  

a) B1 = {1, x} y B2 =   ,   

 1   0    0   1    1   2   3   4 

b) B3 = {1 + x,1 − x} y B4 =  ,   

3. T : S 2 x 2 → D2 x 2 T  b  a) B1 = 

0  a b a + b − c =    c  0 3a − b  

 1 0   0 1   0 0    1 0   0 0    ,  1 0  ,  0 1   y B2 =  0 0  ,  0 1          0 0    1 1  1 1  1 0    1 0   −1 0    , 1 1 ,  0 0   y B4 =  0 1  ,  0 1         1 0   

b) B3 = 

4. T : P2 → M 2 x 2 Tax 2 + bx + c =  1 1 b   

(

)

1 1 a b   c 

a) B1 = 1, x, x 2

{

}yB

2

 1 0   0 1   0 0  0 0   =  , ,    0 0   0 0   1 0  0 1  

b) B3 = 1, x + 1, x 2 + x + 1 y B4 = 

{

}

 1 −1  0 1  1 −1 0 0   , ,    0 0   2 0  1 0  0 1  

5. T : S 2 x 2 → P2

a b 2 T  b c  = (a + 2b + 3c )x + (4a+ 5b + 6c )x + (7 a + 8b + 9c )   

a) B1 = 

 1 −1  1 0   0 2   2 , ,  y B2 = { x ; x + 1; x − 1} −1 1   0 1   2 1         1 1  1 1  1 0   2  , 1 1 ,  0 0   y B4 = {1 + 2 x − x ;1 − 2 x;5}    1 0  

b) B3 = 

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Deber # 4: Miscelánea de...