Estudio de la linea recta

Estudio de la línea recta

La línea recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea,no posee principio ni fin.

Distancia entre dos puntos
Sobre la recta A localizamos dos puntos P1 y P2 con sus respectivas coordenadas sobre el eje x y el eje y. Se trata de hallar la Específicamente nos referiremos al estudio de la distancia entre dos puntos ubicados en cualquiera de los cuatro cuadrantes de un plano de coordenadas.
Veamos la siguiente figura:

Distancia (d) entre lospuntos P1 y P2. Para lo cual se utiliza el teorema de Pitágoras. Observemos que el valor de cada uno de los catetos del triángulo rectángulo que se ha formado es posible hallarlos realizando la diferencia entre las distancias respectivas. Para nuestra gráfica, la distancia d, representa la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces, aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de ladistancia:

Punto medio de un segmento
Observemos la figura:

En la figura se observa que el punto medio entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es el punto de coordenadas P(x, y), donde por semejanza de triángulos se Determina las coordenadas para el este punto. Entonces, diremos que si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento comprendido entre los dos puntos, entonces las coordenadasdel punto medio P(x, y) están dadas por:

Pendiente de la línea recta
La pendiente de una línea recta es el grado de inclinación de la recta respecto al eje x del plano cartesiano.

Analicemos la siguiente gráfica:


El valor de la tangente no es sino el ángulo o grado de inclinación que tiene la recta A, sobre el eje x. A este ángulo de inclinación lo llamamos pendiente de la línearecta y se denota por la letra m.

Teniendo en cuenta los conceptos de pendiente, se enuncian las siguientes consideraciones:
Si una recta es paralela al eje de coordenadas x, entonces y2 = y1 y su pendiente será igual a cero, porque Tg q = 0.
Si una recta es paralela al eje de coordenadas y, entonces x2 = x1 y su pendiente será indefinida.
Si la dirección de la recta tiene un ángulo deinclinación menor de 90° (agudo), entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es positiva, porque la tangente de un ángulo agudo es positiva.
Si la dirección de la recta tiene un ángulo de inclinación mayor de 90° (obtuso), entonces podemos afirmar que la pendiente de la recta es negativa, porque la tangente de un ángulo es negativa.

Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si suspendientes son iguales.




Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
Es decir m1, m2 = -1, que corresponde también a señalar que para que dos rectas sean perpendiculares sus pendientes deben ser cada una el recíproco de la otra.


Ecuación punto - pendiente
Como su nombre lo indica la fórmula para la ecuación punto-pendientenos relaciona un punto de la recta que satisface la ecuación y la pendiente de la misma.
Sea la figura:

Si sobre una recta A de pendiente m que pasa por un punto P1 (x1, y1), haciendo énfasis en que para nuestro ejemplo sólo hay una recta que satisface estas condiciones, localizamos otro punto cualquiera P (x, y) con x ¹ x1, se puede afirmar que el punto P pertenece a la recta A si y solo sí mes la pendiente de dicha recta, es decir:

Siendo ésta la ecuación de una recta que pasa por un punto P1, y tiene como pendiente m.

Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):


Esta forma de obtener la ecuación de...