Estudio de una funcion

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|Estudio de Funciones |
|Matemáticas 1º Bachillerato|
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15. Estudia la función f(x) = x3 + 2 y esboza su gráfica.

[pic]

1. Dominio f(x) = [pic]

2. Recorrido f(x)= [pic]

3. Continuidad:

Esta función es continua en todo su dominio, es decir, [pic], puesto que es polinómica.

4. DerivabilidadEs derivable ya que es polinómica

5. Máximos, mínimos y puntos de inflexión:

Hacemos la primera derivada de f(x) y así obtenemos un punto singular:

[pic]

Igualamos a 0:

[pic]

Ahora realizamos la segunda derivada con la finalidad de ver qué tipo de punto singular es:

[pic]

[pic]

Dado que el resultado es 0, podemos ver que no hay ni máximos ni mínimos, pero si un puntode silla, como a continuación demostraremos. Igualando la segunda derivada a 0, obtenemos:

[pic]

[pic]

Demostramos que hay un punto de silla en [pic], realizando la tercera derivada y comprobando que es distinta de cero:

[pic]

[pic]

Concluimos que la función tiene un punto de silla en [pic]

6. Asíntotas:

La función no presenta asíntotas dado que es polinómica.

•No tiene asíntotas verticales porque no hay polos en la función.

• Las asíntotas horizontales, se hallan calculando los límites en el infinito de la función:

[pic]

[pic]

No hay asíntotas horizontales.

• No hay asíntotas oblicuas, demostrando esta afirmación gracias a la teoría de que una función tiene asíntotas oblicuas cuando existe el límite del cociente de la funciónentre x:

[pic]

[pic]

7. Monotonía:

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el dominio, las asíntotas verticales, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión concluimos:

|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |+ |+ |

[pic]

8. Curvatura:Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en las asíntotas y los puntos de inflexión obtenemos que:

|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |- |+ |

9. Simetría:

• Simetría par

[pic]

[pic]

Como [pic], la función no tiene simetría par.

•Simetría impar

[pic]

[pic]

Como [pic], la función no tiene simetría impar.

10. Puntos de corte:

• [pic]

[pic]

• [pic]

[pic]

Por tanto concluimos que existen dos puntos de corte con los ejes

[pic]

[pic]

11. Acotación

Al no tener asíntotas horizontales y tener un recorrido en todo ℝ, la función no está acotada ya que es biyectiva, es decir, es inyectiva (acada elemento del dominio le corresponde una sola imagen) y suprayectiva (cuando cada imagen representa un elemento del dominio) a la vez.

12. Periodicidad

Sabiendo que una función f es periódica, cuando existe un número p [pic] R tal que:

[pic]

Sabemos que al no haber p, la función no tiene periodo.

13. Signo

|-∞ | [pic] |+∞...
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