Estudio de una funcion
Páginas: 6 (1253 palabras)
Publicado: 13 de octubre de 2010
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|Estudio de Funciones |
|Matemáticas 1º Bachillerato|
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15. Estudia la función f(x) = x3 + 2 y esboza su gráfica.
[pic]
1. Dominio f(x) = [pic]
2. Recorrido f(x)= [pic]
3. Continuidad:
Esta función es continua en todo su dominio, es decir, [pic], puesto que es polinómica.
4. DerivabilidadEs derivable ya que es polinómica
5. Máximos, mínimos y puntos de inflexión:
Hacemos la primera derivada de f(x) y así obtenemos un punto singular:
[pic]
Igualamos a 0:
[pic]
Ahora realizamos la segunda derivada con la finalidad de ver qué tipo de punto singular es:
[pic]
[pic]
Dado que el resultado es 0, podemos ver que no hay ni máximos ni mínimos, pero si un puntode silla, como a continuación demostraremos. Igualando la segunda derivada a 0, obtenemos:
[pic]
[pic]
Demostramos que hay un punto de silla en [pic], realizando la tercera derivada y comprobando que es distinta de cero:
[pic]
[pic]
Concluimos que la función tiene un punto de silla en [pic]
6. Asíntotas:
La función no presenta asíntotas dado que es polinómica.
•No tiene asíntotas verticales porque no hay polos en la función.
• Las asíntotas horizontales, se hallan calculando los límites en el infinito de la función:
[pic]
[pic]
No hay asíntotas horizontales.
• No hay asíntotas oblicuas, demostrando esta afirmación gracias a la teoría de que una función tiene asíntotas oblicuas cuando existe el límite del cociente de la funciónentre x:
[pic]
[pic]
7. Monotonía:
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el dominio, las asíntotas verticales, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión concluimos:
|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |+ |+ |
[pic]
8. Curvatura:Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en las asíntotas y los puntos de inflexión obtenemos que:
|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |- |+ |
9. Simetría:
• Simetría par
[pic]
[pic]
Como [pic], la función no tiene simetría par.
•Simetría impar
[pic]
[pic]
Como [pic], la función no tiene simetría impar.
10. Puntos de corte:
• [pic]
[pic]
• [pic]
[pic]
Por tanto concluimos que existen dos puntos de corte con los ejes
[pic]
[pic]
11. Acotación
Al no tener asíntotas horizontales y tener un recorrido en todo ℝ, la función no está acotada ya que es biyectiva, es decir, es inyectiva (acada elemento del dominio le corresponde una sola imagen) y suprayectiva (cuando cada imagen representa un elemento del dominio) a la vez.
12. Periodicidad
Sabiendo que una función f es periódica, cuando existe un número p [pic] R tal que:
[pic]
Sabemos que al no haber p, la función no tiene periodo.
13. Signo
|-∞ | [pic] |+∞...
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15. Estudia la función f(x) = x3 + 2 y esboza su gráfica.
[pic]
1. Dominio f(x) = [pic]
2. Recorrido f(x)= [pic]
3. Continuidad:
Esta función es continua en todo su dominio, es decir, [pic], puesto que es polinómica.
4. DerivabilidadEs derivable ya que es polinómica
5. Máximos, mínimos y puntos de inflexión:
Hacemos la primera derivada de f(x) y así obtenemos un punto singular:
[pic]
Igualamos a 0:
[pic]
Ahora realizamos la segunda derivada con la finalidad de ver qué tipo de punto singular es:
[pic]
[pic]
Dado que el resultado es 0, podemos ver que no hay ni máximos ni mínimos, pero si un puntode silla, como a continuación demostraremos. Igualando la segunda derivada a 0, obtenemos:
[pic]
[pic]
Demostramos que hay un punto de silla en [pic], realizando la tercera derivada y comprobando que es distinta de cero:
[pic]
[pic]
Concluimos que la función tiene un punto de silla en [pic]
6. Asíntotas:
La función no presenta asíntotas dado que es polinómica.
•No tiene asíntotas verticales porque no hay polos en la función.
• Las asíntotas horizontales, se hallan calculando los límites en el infinito de la función:
[pic]
[pic]
No hay asíntotas horizontales.
• No hay asíntotas oblicuas, demostrando esta afirmación gracias a la teoría de que una función tiene asíntotas oblicuas cuando existe el límite del cociente de la funciónentre x:
[pic]
[pic]
7. Monotonía:
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el dominio, las asíntotas verticales, los máximos, los mínimos y los puntos de inflexión concluimos:
|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |+ |+ |
[pic]
8. Curvatura:Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en las asíntotas y los puntos de inflexión obtenemos que:
|-∞ | 0 |+∞ |
|[pic] |- |+ |
9. Simetría:
• Simetría par
[pic]
[pic]
Como [pic], la función no tiene simetría par.
•Simetría impar
[pic]
[pic]
Como [pic], la función no tiene simetría impar.
10. Puntos de corte:
• [pic]
[pic]
• [pic]
[pic]
Por tanto concluimos que existen dos puntos de corte con los ejes
[pic]
[pic]
11. Acotación
Al no tener asíntotas horizontales y tener un recorrido en todo ℝ, la función no está acotada ya que es biyectiva, es decir, es inyectiva (acada elemento del dominio le corresponde una sola imagen) y suprayectiva (cuando cada imagen representa un elemento del dominio) a la vez.
12. Periodicidad
Sabiendo que una función f es periódica, cuando existe un número p [pic] R tal que:
[pic]
Sabemos que al no haber p, la función no tiene periodo.
13. Signo
|-∞ | [pic] |+∞...
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