Etica para amador

GEOMETRIA ANALITICA
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en laotra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes ycoordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse comoecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1).

I.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje “x“(de las abscisas)o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valorabsoluto de la diferencia de sus abscisas
Ejemplo1:

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

2. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje “y” (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ejemplo2:
Calcula la distancia entre los puntosA (0,5) y B (0,7) es 7 – 5 = 2 unidades.

3. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo3:
Calcularla distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.
 
 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:
 
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 
 

Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela aleje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero: 

 Y 

Luego, 

 

 
En la fórmula se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual serestan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.

II.- PENDIENTE DE UNA RECTA

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.Se denota con la letra m.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.
Cálculo de la pendiente...