Examen de algebra lineal

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
I-Término 2008
Resolución de la Primera Evaluación de Algebra Lineal (B)

1. Responda con verdadero o falso a cada unade las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta

a) Sea un espacio vectorial [pic]. Si [pic]

Sumamos el inverso aditivo de [pic] en ambos lados de la ecuación
[pic]

[pic]

b) Sea[pic] un espacio vectorial. Si [pic][pic] y [pic] son conjuntos linealmente independientes, entonces [pic] es también linealmente independiente

Sea [pic]. Sean [pic] y [pic] dos conjuntoslinealmente independientes en [pic]
[pic], como tiene más elemento que la base de [pic] podemos concluir que este conjunto es linealmente dependiente

[pic]

c) Si [pic], entonces [pic], donde [pic] es elnúcleo de la matriz [pic]

Sea la matriz [pic]
[pic], pero este conjunto es linealmente independiente en [pic] y por tanto constituye una base del espacio renglón de [pic], entonces [pic]

Delteorema de la dimensión para matrices:
[pic] [pic] [pic]
d) Sean [pic] y [pic] dos subespacios vectoriales de [pic] con bases [pic] y [pic] respectivamente. Entonces [pic] es base del subespacio[pic]

Sea [pic]. Sean los subespacios [pic] y [pic]
Podemos notar que los conjuntos generadores de [pic] y [pic] son linealmente independientes y por tanto constituyen una base de [pic], es decir,[pic]

Entonces [pic] y una base de la intersección sería [pic] [pic]

2. Sea [pic]. Dados los conjuntos:
[pic] [pic]
[pic] [pic]

a) ¿Cuáles son subespacios vectoriales de [pic]?
b)Determine una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en [pic], así como de su intersección
c) Sean [pic] y [pic]. Determine si [pic] pertenece a la unión de los subespacioshallados en [pic]

Sea [pic]

El elemento neutro del espacio vectorial por definición pertenece a cualquier subespacio de [pic], entonces:

[pic] porque no posee la forma de todo elemento de [pic],...