expo proba

Instituto Tecnológico Superior de Xalapa
Ingeniería Civil

Probabilidad y estadística

-) Permutaciones y Combinaciones
-) Espacio Muestral y eventos
Grupo: “D”
03/Enero/2015

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
•

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no
importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o
"uvas, manzanas ybananas", es la misma ensalada.

•

"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no
funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

•

Si el orden no importa, es una combinación.

•

Si el orden sí importa es una permutación.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Son las más fáciles de calcular.Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las
permutaciones posibles son:
•

n × n × ... (r veces) = n r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de
ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 10 3 = 1000 permutaciones
Así quela fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el
orden importa)

PERMUTACIÓN SIN REPETICIÓN
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Por ejemplo, ¿cómo podrías
ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15
posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
• 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
•

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN
Así funcionala lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la
suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber que 3 bolas se eligieron, no el
orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
• Por ejemplo, digamos que se tomaronlas bolas 1, 2 y 3.
16×15×14
3×2×1
•

=

3360 = 560
6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre ” r !”

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN
Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla.
Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?
(N+r-1)!
r!(n-1)!
Resolución del problema:
(5+3-1)! = 7! = 5040 = 35
3!(5-1)

3!x4! 144ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS
Definiciones

1. Un experimento aleatorio es aquel que proporciona diferentes resultados aun cuando se
repita siempre de la misma manera.
2. El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de
espacio muestral del experimento. Denotaremos el espacio muestral con la letra S.
3. Un evento es un subconjunto del espaciomuestral de un experimento aleatorio

EVENTOS ALEATORIOS

•

Un evento se entiende como el acontecimiento de un hecho en proceso o por venir. Se
dice que es aleatorio, si no es posible determinarlo con exactitud. En todo caso, será
posible predecirlo con un nivel dado de confianza. Al evento también se le denomina un
suceso o un fenómeno.

•

Generalmente, se simula el evento por unconjunto de variables relacionadas entre si.
Por lo tanto, un evento está representado con una o más variables vinculadas entre
ellas.

•

Si las variables (una o varias de éstas) no son predecibles con exactitud se dice que el
evento es aleatorio. Generalmente las variables representan atributos y propiedades de
los entes que intervienen en el evento, y que pueden ser medidos.

ESPACIO...