Expocicion trigonometrica

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CUARTO GRUPO

Cada fórmula de este último grupo, llamado “polar” del primero, relaciona los tres ángulos de un triángulo esférico con uno de sus lados.

Desmostración

Utilicemos una formula del grupo de los cosenos en el triangulo esférico A’B’C,, polar del ABC:

Cos a’ = cos b’ cos c’ + sen b’ sen c’ cos a’

Ahora bien, teniendo en cuenta que cada lado de un triangulo esférico essuplementario de un angulo de su triangulo polar, resulta:

-cos a’= cos b’cos c’ – sen b sen c cos a,

O bien

cos a = con b cos c + sen b sen c cos a

Esta es la formula modelo del grupo; las otras dos se obtienen permutando circularmente las letras:

Mediante estos cuatro grupos de Bessel puede calcularse cualquier elemento de un triangulo esférico, a partir de otros tres conocidos.Los tres elementos conocidos, junto con el que deseamos conocer, son los cuatro elementos que tienen que relacionarse; ellos nos indicaran el grupo al que hay que acudir y la formula única, dentro de este grupo, en la que aparecen.

Para cada una de las quince combinaciones cuaternarias posibles entre los seis elementos de un triangulo esférico, existe una y solo una formula de Bessel que losrelaciona.

Grupo de Formulas de Bessel

Son formulas combinadas por Bessel para obtener los cálculos independientes en todos los casos posibles, los elementos lado o ángulo cualesquiera de un triangulo esférico.

Friedrich Wilhelm Bessel (1784 -1846) fue un matemático alemán, astrónomo, y sistematizador de las funciones de Bessel (las cuales, a pesar de su nombre, fueron descubiertas porDaniel Bernoulli).
La trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos.

Al corta una superficie esférica por tres planos que pasen por el centro de la misma, se forman ocho triángulos esféricos; uno de ellos es el ABC de la figura

[pic]

Triángulo esférico.

Si tres puntos dela superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco.

Resolver un triángulo esférico escalcular tres elementos del mismo una vez que se conocen los otros tres. Para ello emplearemos las fórmulas fundamentales de la trigonometría esférica. Las de primer orden nos relacionan los ángulos y lados enteros. Es decir, calcular los lados y ángulos desconocidos utilizando exclusivamente tres elementos conocidos de dicho triángulos.

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: πrad = 180°. El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo (πRad/s).

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulorectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.

• El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del quequeremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro...
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