Expresiones booleanas

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ALGEBRA BOOLEANA”

DEFINICION: El Algebra Boolena es un sistema cerrado formado por un conjunto P de dos o más elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados (0 - 1, V - F, Abierto - Cerrado, etc.) y dos operaciones binarias: suma (+) o función OR y producto (*) o función AND, y que cumplen los siguientes axiomas o postulados:

a) Conmutatividad. “A Î P y “ B Î P secumple que A + B = B + A A * B = B * A

b) Asociatividad “A, B y C Î P se cumple que (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B (A * B) * C = A * (B * C) = (A * C) * B

c) Distributividad “ A, B y C Î P se cumple que A + (B * C) = (A + B) * (A + C)+ A * (B + C) = (A * B) + (A * C)

d) Elemento Idéntico 0 es el elemento idéntico de la suma A + 0 = A 1 es el elemento idéntico del producto A * 1 =A

e) Complemento o inverso “ A Î P , $ Î P tal que + A = 1 y * A = 0 Esta función se conoce como función NOT. De aquí se concluye que 0 = 1 y 1 = 0 Algunas definiciones interesantes: Variable: Símbolos que pueden tomar los valores 0 o 1 en cualquier instante de tiempo. Constante: Símbolo que toma sólo un valor 0 o 1 para todo instante de tiempo. Expresión booleana o expresión de conmutación:combinación de un número finito de variables y constantes por medio de las operaciones suma y producto

Ejemplo: f (a, b, c, d) = a + b*c + d *a*(b + c)

TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLEANA

Teorema 1: Cada identidad deducida de los postulados anteriores permanece válida si las Operaciones suma (+) y producto (*) y los elementos 0 y 1 se intercambian entre sí. Este es el principio dedualidad y se deduce de la simetría de los cuatro postulados con respecto a ambas operaciones y a ambos elementos neutros.

Teorema 2: Para cada elemento A se cumple que A + 1 = 1 y su dual A * 0 = 0

Demostración: 1=a+ a postulado e) = a + a 0 1 postulado d) = (a + a) 0 (a + 1) postulado c) = 1 0 (a + 1) postulado d) 1 = a + 1 postulado c)

Teorema 3: Para cada elemento A del Algebra de Boolese verifica que A + A = A Y su dual A * A = A

Demostración:a = a + 0 postulado d) = a + a 0 a postulado e) = (a + a ) 0 (a + a ) postulado c) = (a + a ) postulado e)

Teorema 4: Para cada par de elementos A y B del Algebra de Boole, se cumple que: A + A * B = A y su dual A * (A + B) = A

‘’‘Este teorema se conoce como Ley de Absorción. Demostración:’‘’ a = 1 * a postulado d) = (1 + b) *a teorema 2) = (1 * a) + (a * b) postulado c) = a + (a * b) postulado d)

Otra forma de demostrar es usando las tablas de verdad: a b a*b a + a*b 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Son iguales

Teorema 5: Para todo elemento A, se verifica que a = a

Teorema 6: Leyes de De Morgan. a) a + b + c + d + … = a * b * c * d * … b) a * b * c * d * … = a + b + c + d + …

Este teorema define dosnuevas funciones lógicas: NOR (NO-OR) y NAND (NO-AND) Con estos teoremas podemos definir los valores numéricos de las operaciones booleanas OR AND N O T 0 + 0 = 0 0 * 0 = 0 0 = 1 0 + 1 = 1 0 * 1 = 0 1 = 0 1 + 0 = 1 1 * 0 = 0 0 = 0 1 + 1 = 1 1 * 1 = 1 1 = 1

FUNCIONES LOGICAS O FUNCIONES DE CONMUTACION:

Definiciones previas:

Una función del Algebra de Booleana es una variable binaria cuyovalor depende de una expresión Algebraica en la que se relacionan entre sí las variables binarias por medio de las operaciones básicas. Representación: f = f(a, b, c)

La tabla de verdad de una función lógica es una forma de representación de la misma, en la que se indica el valor 1 o 0 que toma la función para cada una de las posibles combinaciones de las variables de la función. Se llamatérmino canónico de una función lógica a todo producto o suma en la cual aparecen todas las variables en su forma directa o inversa. A la suma canónica se le llama maxterm y al producto canónico se le llama minterm Ejemplo: Sea la tabla de verdad de una función de tres variables: Decimal a b c f(a, b, c) Este 1 se obtiene como 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 a * b * c 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 a * b * c 4 1 0 0 1 a *...
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