Extremos De Una Función De Dos Variables

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Unidad 3: Extremos Relativos.
* Derivadas de orden superior
Si F es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales Fx´ y Fy´ son también funciones de dos variables, de modo que se consideran sus derivadas parciales Fxx´ , Fxy´ , Fyx´ y Fyy´ , que se llaman segundas derivadas parciales de F. Si z= f(x,y), se usa la notación siguiente:
Fx´x´ = Fxx´´ = F11 = ∂∂x ∂F∂x =∂2 F∂x2 = ∂2z∂x2
Fx´y´= Fxy´´ = F12 = ∂∂y ∂F∂x = ∂2F∂y∂x = ∂2z∂y∂x
Fy´x´ = Fyx´´ = F21 = ∂∂x ∂F∂y = ∂2F∂x∂y = ∂2z∂x∂y
Fy´y´ = Fyy´´ = F22 = ∂∂y ∂F∂y = ∂2 F∂y2 = ∂2z∂y2
Por lo tanto, la notación Fxy´´, (o bien, ∂2f∂y∂x ) quiere decir que primero se deriva con respecto a x y después respecto a y, y que al calcular Fyx´ el orden es el inverso
Las derivadas parciales de orden 3 osuperiores también se pueden definir por ejemplo,
Fxyy´´´ = Fxy´´y´ = ∂∂y ∂2f∂y∂x = ∂3f∂y2∂x
Ejemplo: Determine las segundas derivadas parciales de F: x;y→x3+x2y3-2y2.
Sus derivadas parciales entonces:
Fx´x;y= 3x2+2xy3 ∧ Fy´x;y=3x2y2-4y
Por lo tanto,
Fxx´´x;y=∂∂x 3x2+2xy3=6x+2y3 Fxy´x;y=∂∂y 3x2+2xy3=6xy2
Fyx´´x;y=∂∂x3x2y2-4y =6xy2Fyy´x;y=∂∂y 3x2y2-4y=6x2y-4
En este ejemplo se observa que Fxy´= Fyx´. Esto no es coincidencia. Resulta que las derivadas parciales combinadas Fxy´ y Fyx´ son iguales para la mayor parte de las funciones. El teorema siguiente presenta las condiciones en las cuales es posible afirmar Fxy´= Fyx´
* Conmutación de la Derivación de orden superior:
* Teorema de schwarz
Si F: A→B(A ⊆ R2) tiene derivadas parciales Fx´, Fy´, Fxy´´ , continúas en un entorno del punto (a; b), interior al dominio, entonces existe Fyx´´(a,b) y es igual Fxy´´(a,b)
Demostración :
Considero un punto a+h; b+k, interior al entorno de la hipótesis, y definamos una función auxiliar g, de variable x, en el intervalo a;a+h:
gx=Fx;b+k-F(x;b)
Por hipótesis g es derivable y se le puedeaplicar,en el intervalo a;a+h, el teorema del valor medio para funciones escalares.
Resulta ga+h-ga=g´a+t1h.h con 0<t<1
Remplazo g y g´, resulta:
Fa+h;b+k-Fa+h;b-Fa;b+k+ Fa;b= Fx´a+t1h;b+k-Fx´a+t1h;bh
Si divido k≠0 y busco el limk→0, queda:
limk→0 Fa+h;b+k-Fa+h;b k- Fa;b+k-F(a;b)k=
limk→0 Fx´ a+t1 h;b+k-Fx´ a+t1 h;bk h
limk→0 Fa+h;b+k-Fa+h;b k -limk→0 Fa;b+k-F(a;b)k =
limk→0 Fx´ a+t1h;b+k-Fx´ a+t1 h;bk h
Luego, Fy´ a+h;b-Fy´(a;b)=Fxy´´a+t1h;bh, ya que estas derivadas existen por hipótesis
Si ahora divido por h≠0 y busco el limh→0 , obtengo:
limh→0Fy´ a+h;b-Fy´ a;bh=limh→0 Fxy´´a+t1h;b
Como Fxy´´ es continua por hipótesis el limite en el segundo miembro existe y es Fxy´´(a,b).
Luego,
limh→0Fy´ a+h;b-Fy´ a;bh=Fxy´´a;b
Pero el primer miembro es Fyx´´a;b
Por lotanto Fyx´´a;b=Fxy´´a;b
La conmutatividad en el orden de derivacion se extiende a las derivadas parciales superiores, siempre que se verifique la continuidad de las derivadadas correspondientes. Por ejemplo, para las derivadas terceras, resulta Fxxy´´´=Fxyx´´´=Fyxx´´´, etcétera.

Ejemplo:
Fx;y→xy-exy
Fx´x;y= y xy-1-y exy ∧ Fy´x;y=xylnx-x exy
Fxx´´x;y=y y-1xy-2-y2 exyFxy´´x;y=xy-1+yxy-1 lnx-exy- yxexy,
Fyx´´x;y= yxy-1 lnx+xy-1-exy-yxexy Fyy´´x;y= xy ln2x-x2exy
También resulta Fxy´´= Fyx´´ en cualquier punto
Ahora si considero una función definida en R2, así:
Fx;y→x3y-xy3 x2+y2six;y≠(0;0) 0 si ix;y≠(0;0)
Y calculo sus derivadas mixtas en el origen
Primero buscamos Fx´ en cualquier punto x;y≠(0;0)utilizando las reglas de derivación
Es Fx´x;y =3x2y-y3x2+y2-2xyx3-xy3x2+y22 si x;y≠(0;0)
Como Fxy´´0;0= limy→0 Fx´ 0;y-Fx´ 0;0y, hallamos Fx´ 0;y y Fx´ 0;0
Fx´ 0;y=-y5y4= -y y≠0 Fx´ 0;0= limx→0F x;0-F 0;0x =0
Luego Fxy´x;y=limy→0 -y y= -1 (1)
AnálogamenteFy´x;y= x3-3y2xx2+y2-2yx3-xy3x2+y22 six;y≠(0;0)
Como Fyx´ 0;0= limx→0 Fy´ x;0-Fy´0;0x buscamos Fy´x;0 y Fy´0;0...
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