Unidad 3: Extremos Relativos.
* Derivadas de orden superior
Si F es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales Fx´ y Fy´ son también funciones de dos variables, de modo quese consideran sus derivadas parciales Fxx´ , Fxy´ , Fyx´ y Fyy´ , que se llaman segundas derivadas parciales de F. Si z= f(x,y), se usa la notación siguiente:
Fx´x´ = Fxx´´ = F11 = ∂∂x ∂F∂x =∂2 F∂x2 = ∂2z∂x2
Fx´y´= Fxy´´ = F12 = ∂∂y ∂F∂x = ∂2F∂y∂x = ∂2z∂y∂x
Fy´x´ = Fyx´´ = F21 = ∂∂x ∂F∂y = ∂2F∂x∂y = ∂2z∂x∂y
Fy´y´ = Fyy´´ = F22 = ∂∂y ∂F∂y = ∂2 F∂y2 = ∂2z∂y2
Por lo tanto, lanotación Fxy´´, (o bien, ∂2f∂y∂x ) quiere decir que primero se deriva con respecto a x y después respecto a y, y que al calcular Fyx´ el orden es el inverso
Las derivadas parciales de orden 3 osuperiores también se pueden definir por ejemplo,
Fxyy´´´ = Fxy´´y´ = ∂∂y ∂2f∂y∂x = ∂3f∂y2∂x
Ejemplo: Determine las segundas derivadas parciales de F: x;y→x3+x2y3-2y2.
Sus derivadas parciales entonces:Fx´x;y= 3x2+2xy3 ∧ Fy´x;y=3x2y2-4y
Por lo tanto,
Fxx´´x;y=∂∂x 3x2+2xy3=6x+2y3 Fxy´x;y=∂∂y 3x2+2xy3=6xy2
Fyx´´x;y=∂∂x3x2y2-4y =6xy2Fyy´x;y=∂∂y 3x2y2-4y=6x2y-4
En este ejemplo se observa que Fxy´= Fyx´. Esto no es coincidencia. Resulta que las derivadas parciales combinadas Fxy´ y Fyx´ son iguales para la mayor parte delas funciones. El teorema siguiente presenta las condiciones en las cuales es posible afirmar Fxy´= Fyx´
* Conmutación de la Derivación de orden superior:
* Teorema de schwarz
Si F: A→B(A ⊆ R2) tiene derivadas parciales Fx´, Fy´, Fxy´´ , continúas en un entorno del punto (a; b), interior al dominio, entonces existe Fyx´´(a,b) y es igual Fxy´´(a,b)
Demostración :
Consideroun punto a+h; b+k, interior al entorno de la hipótesis, y definamos una función auxiliar g, de variable x, en el intervalo a;a+h:
gx=Fx;b+k-F(x;b)
Por hipótesis g es derivable y se le puede... [continua]

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