FÒRMULA DE EULER

FÓRMULA DE EULER

Euler es más conocido por la formulación del número "e", la base exponencial, pero últimamente su famosa fórmula es la protagonista. Euler y Gauss son considerados los mayoresgenios de la matemática.
La fórmula de Euler / Lindeman es considerada la más bella del mundo, porque en una forma sencilla y elegante relaciona 5 de las entidades fundamentales de la matemática y seencuentra en el centro de nuestras vidas: en el teléfono celular, meteorología, aviones, barcos, sistemas anti robo y todo lo que use el sistema de posicionamiento global, además, como dice Mimetist:“Esta identidad se puede utilizar para obtener coordenadas con unos cálculos ridículos y una precisión asombrosa sin necesidad de calcular senos y cosenos… fue el primer paso (o uno de los primeros)para los sistemas GPS y GPRS que utilizan las coordenadas polares para determinar la posición del dispositivo y permitir su comunicación.
Y la belleza de todas estas cuestiones es la misma que puedatener una obra de Shakespeare o un cuadro de Monet… con la diferencia de que la Identidad de Euler seguirá siendo cierta cuando todos los cuadros y libros se hayan quemado. “
En Matemáticas hayigualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes delas Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:



En términos trigonométricos, ya no suena tan formidable, y quiere decir que el coseno de 180 grados es -1,(cos 180 = -1) y su representación gráfica es:

Hay varias formas de demostrar esta fórmula, pero les expondré la que considero más elegante:


Explicación
¿Por qué se cumple esa igualdad?.Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:

Partimos de la expresión de la exponencial en forma de serie:

Sustituímos x por z·i, usamos que i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 (a partir de aquí se...