Formula de euler
Páginas: 3 (678 palabras)
Publicado: 24 de enero de 2012
Fórmula de Euler
La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, sin x ycos x son funciones trigonométricas.
O bien:
siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy.
Demostración
Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los númeroscomplejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar lafórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así,x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. Lafórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta ypopularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgióunos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).
Demostración usando las Series de Taylor
La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Sabiendo que:
y así sucesivamente. Además de esto, lasfunciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.
Definimos cada una de estas funciones por las seriesanteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:
El...
La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, sin x ycos x son funciones trigonométricas.
O bien:
siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy.
Demostración
Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los númeroscomplejos y de la exponencial, sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los reales para parámetros complejos para poder demostrar lafórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así,x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. Lafórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta ypopularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgióunos 50 años más tarde (ver Caspar Wessel).
Demostración usando las Series de Taylor
La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Sabiendo que:
y así sucesivamente. Además de esto, lasfunciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.
Definimos cada una de estas funciones por las seriesanteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:
El...
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