Formula de euler

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Fórmula de Euler

La fórmula o relación de Euler, establecece que:

para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y senx y cosx son funcionestrigonométricas.
Esta función tiene, tanto simetría par como impar sabido que este tipo de simetrías desempeñan un papel muy importante en la física moderna, razón por la cual en la mecánica cuántica losnúmeros complejos son esenciales.
Demostración
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar xsobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas delreloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
.
Demostración usando las Series de Taylor

Sabiendo que:

y así sucesivamente.Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

Definimos cada una de estas funcionespor las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entoncesencontramos que

Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.
Para el logaritmo de un número negativo:
Basta con evaluar la fórmula de euler en x = π ,obteniendo:

eiπ = − 1.
Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1:
iπ = ln( − 1).
Para un número negativo cualquiera:
ln( − a) = ln(a) + ln( − 1) = ln(a) + iπ. (Cona > 0).
Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.
Una propiedad importante de la fórmula de...
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