Factorización

LEYES DE EXPONENTES
 
En esta sección veremos como algunas de las leyes de exponentes, son válidas para cualquier grupo, y algunas solo para grupos abelianos.
Estas leyes lasusaremos continuamente y por ello les dedicamos esta sección. Comencemos con la definición de exponente, y luego veamos las leyes mencionadas
Observación.
El decir exponente es solamenteeso, un dicho. Por ejemplo, si el grupo es [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] con la operación de la suma, entonces  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] significa enrealidad  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], que obviamente, no tiene ninguna cara de exponente.
Sin embargo, hablando abstractamente, nos referimos  a  la exponenciación,simplemente como un concepto formal.
 
PROPOSICIÓN.   Si  G  es un grupo, [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]  y  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces:
1.     [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
2.      [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic].
Demostración.  (1)  Si  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] ó[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], el resultado es obvio; supongamos primero que  ambos son positivos, y usemos inducción matemática sobre n:
•        Si   [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] entonces  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic], donde la penúltima igualdad se debe al hecho de que el producto indicado tiene exactamente  m  factores.
•       Ahora supongamos que la ley es válida para  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic] y  probémosla para  [pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]:[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
            donde hemos usado la base de la inducción en la primera y en la última igualdad, así
            como la hipótesis de inducción en la igualdad intermedia