Factorizacion

Factorización
Caso I
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.
a) Factor común monomio.
1. Descomponer los factores a2 +2a.
Los factores a2 y 2a contienen en común a. Escribimos el factor común a como coeficiente en un paréntesis, dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir a2 ÷a=a y 2a÷a=2, y tendremos:
a2+2a= a(a+2)
b) Factor común polinomio.
1.Descomponer x(a+b)+m(a+b).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio (a+b).
Escribo (a+b) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribo los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a+b), o sea:
X(a+b) = x y m(a+b) = m y tendremos:
(a+b)(a+b)

X(a+b)+m(a+b)= (a+b)(x+m)

Caso II
Factor común por agrupación de términos
1. Descomponer ax+bx+ay+by.
Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:
ax+bx+ay+by= (ax+bx)+ (ay+by)=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)

Caso III
Trinomio cuadrado perfecto.
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.
Así 4a2 es cuadrado prefecto porque es el cuadrado de 2a.
En efecto: (2a)2 = 2a×2a= 4a2 y 2a, que multiplicada por si misma da 4a2 , es la raíz cuadradade 4 a2.
Obsérvese que (-2a)2 = (-2a)×(-2a)= 4a2; luego, -2a es también la raíz cuadrada de 4 a2.
Lo anterior nos dice que la raíz cuadrada de una cantidad positiva tiene dos signos: + y -.
a) Raíz cuadrada de un monomio.
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.
Así, la raíz cuadrada de 9a2b4 es3ab2 porque (3ab2) 2= 3ab2×3ab2=9a2b4.
La raíz cuadrada de 36x6y8 es 6x3y4.
Un trinomio es cuadrado prefecto cuando es el cuadrado de un binomio, o sea, el producto de dos binomios iguales.
Así, a2+2ab+b2 es cuadrado prefecto porque es el cuadrado de a+b.
En efecto:
(a+b)2= (a+b)(a+b)= a2+2ab+ b2
b) Regla para conocer si un trinomio cuadrado es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado enrelación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Así, a2-4ab+4b2 es cuadrado prefecto porque:
Raíz cuadrada de a2............. a2
Raíz cuadrada de 4b2………….2b
c) Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
Se extrae laraíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
Factorizar: m2+2m+1.
m2+2m+1=(m+1)(m+1)= (m+1)2
Caso IV
Diferencia de cuadrados perfectos
En los productos notables (89) se vio la suma de dos cantidadesmultiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea, (a + b) (a – b)= = a² – b²; luego, recíprocamente. a² – b² = (a + b) (a – b).
Podemos, pues, enunciar la siguiente:
Regla para factorar una diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y semultiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Factorar

(1) 1 – a².
La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a² es a. multiplico la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a). R.
(2) Descomponer 16x²- 25y²
La raíz cuadrada de 16x² es 4x; la raíz cuadrada de 25y² es 5y². Multiplico la suma...