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CompuScientia , Vol. 1 No. 1
´ SECCION: ESTUDIANTES AHORA

ESTUDIANTES AHORA!

Diciembre, 2011

´ Algebra Geom´trica en las Ciencias de la e Computaci´n o
Las altas matem´ticas est´n al alcance de los profesionales en computaci´n a a o
Mauricio L´pez Bel´n, Arequipa, Per´ o o u

Las Ciencias de la Computaci´n tieo nen sus ra´ ıces en las matem´ticas. a De este hecho dan cuenta elAn´lisis a de Algoritmos, la Geometr´ Compuıa tacional, los M´todos Num´ricos y e e muchas m´s ramas de las Ciencias de a la Computaci´n. No es de sorprendero nos que en ´stas ramas existan problee mas computacionales que encuentran su mejor expresi´n en lenguaje mao tem´tico. Resulta imprescindible cona tar con las herramientas matem´ticas a adecuadas que nos permitan expresar de forma simple y concisa´sta clase e de problemas para as´ poder encontrar ı soluciones computacionales ´ptimas. o En ´ste art´ e ıculo presento una nueva herramienta matem´tica, considea rada por no pocos matem´ticos y f´ a ısicos como la m´s poderosa disponia ble a la fecha [1]. Se trata de la ´ denominada Algebra Geom´trica (en e ´ ingl´s, Geometric Algebra). El Algee bra Geom´trica (AG) es una teor´ e ıa matem´ticaavanzada y a la vez una a herramienta pr´ctica para la reprea sentaci´n y soluci´n de problemas o o geom´tricos que impacta directamene te en las Ciencias de la Computaci´n, o pero especialmente en las ´reas de a Geometr´ Computacional, Compuıa taci´n Gr´fica y Visi´n Computacioo a o nal. Sus or´ ıgenes se remontan hasta hace m´s de 100 a˜os. Fue concebia n da por el matem´tico ingl´s William a eK. Clifford (1845-1879) en la d´cae da de 1870 y desde entonces ha venido impactando en varias ´reas de a la Matem´tica, la F´ a ısica y la Ingenier´ Recientemente ha sido introıa. ducida en las Ciencias de la Computaci´n a trav´s de conferencias como o e ACM SIGGRAPH, AGACSE (Applied Geometric Algebra for Computer Science and Engineering), GRAVISMA, entre otras.

Si bien el ´lgebra geom´trica(coa e nocida tambi´n como ´lgebra de Clife a ford) fue concebida por W. K. Clifford a fines del siglo XIX, no todo el cr´dito e es suyo. El ´lgebra inventada por Clifa ford se bas´ fundamentalmente en las o teor´ del matem´tico alem´n Herıas a a mann G. Grassmann (1809-1877) y en las del f´ ısico irland´s Sir William Roe wan Hamilton (1805-1865). La muerte prematura de Clifford, a sus 33 a˜os, n cort´de golpe los avances en la teor´ o ıa del ´lgebra geom´trica ya que sus cona e tempor´neos no la supieron interprea tar y terminaron adoptando un ´lgea bra mucho m´s simple, pero tambi´n a e mucho m´s limitada, como es el ´lgea a bra vectorial introducida por el f´ ısico norteamericano Josiah W. Gibbs (1839-1903) y el f´ ısico ingl´s Oliver e Heaviside (1850-1925). Desde entonces, el ´lgebravectorial y el c´lculo a a vectorial fueron el est´ndar de facto a tanto para f´ ısica como para ingenier´ ıa, en cuanto a las aplicaciones geom´trie cas del ´lgebra lineal concierne. a Recientemente, el f´ ısico norteamericano David Hestenes (1933presente) buscando mejores representaciones matem´ticas para la mec´nia a ca cu´ntica y la relatividad se dio a cuenta de que el ´lgebra de Clifford a casi nohab´ sido explorada en sus ıa aspectos geom´tricos (el sentido orie ginal que le trat´ de dar su creador o W. K. Clifford) y comenz´ el redeso cubrimiento de un “´lgebra universal” a que est´ conduciendo a la reformulaa ci´n de la f´ o ısica cu´ntica: el ´lgebra a a geom´trica [4]. e ¿Qu´ es y para qu´ sirve? e e El ´lgebra geom´trica es un suba e conjunto de lo que hoy se conoce como a ´lgebra deClifford. Se puede afirmar que es la parte del ´lgebra de Clifford a que tiene sentido geom´trico. El ´lgee a bra geom´trica engloba y generaliza a e los n´meros complejos, los cuales son u un caso particular dentro de AG. Lo mismo ocurre con los quaternions, que

fueron introducidos por Sir W. R. Hamilton como una versi´n de los n´meo u ros complejos en 3D. Estos, en ´lgebra a geom´trica son...
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