Factorizacion

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FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
 
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
 
1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:
 

 
Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que
 

 
Cuando nos piden sacar factor común o simplementefactorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será
 

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18
Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tieneque dar la parte izquierda.
 
Otro ejemplo: Factorizar
 
¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.
Sin embargo si efectúo
 
Otros ejemplos:
 

 
2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Esigual a suma por diferencia.
Se basa en la siguiente fórmula
 

 
Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo
 

Otros ejemplos de factorización por este método:
 

 
3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio
Se basa en las siguientes fórmulas
 
y
 
Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar lafórmula anterior y escribir que
 

 
Otros ejemplos de factorización por este método:
 

 
4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo
, siendo a, b y c números
 
Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:
 
Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio
Igualamosa cero
Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

 
 
5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
 
Si un polinomio de , por ejemplo,cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:
 

 
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini
 
Ejemplo: Factorizar
Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12
 
Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio:
 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
 
 
Y se escribe en una segunda línea el número uno
 
 
  | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   |   |   |   |   |
  |   |   |   |   |   |
 
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea
 
  | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   |   |   |   |   |
  | 1 |   |   |   |   |
 
Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando,en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4
 
  | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   | 1 |   |   |   |
  | 1 |   |   |   |   |
Se suma –4+1=-3
 
  | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   | 1 |   |   |   |
  | 1 | -3 |   |   |   |
Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1
 
   | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   | 1 | -3 |   |   |
  | 1 | -3 |   |   |   |
Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente
 
  | 1 | -4 | -1 | 16 | -12 |
1 |   | 1 | -3 | -4 | 12 |
  | 1 | -3 | -4 | 12 | 0 |
Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir...
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