Formula De Moivre

Fórmula de De Moivre
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Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces seabrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) ysen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Obtención

La fórmula de DeMoivre puede ser obtenida de la fórmula de Euler:
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Aplicando leyes de la exponenciación [pic]

Entonces, por la fórmula de Euler, [pic]
Derivaciones
Partiendo nuevamentede la fórmula de Euler: [pic]
Si hacemos que x = π entonces tenemos la fórmula de Euler: [pic]
Es decir: [pic]
Además como tenemos estas dos igualdades:
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Podemos deducirlo siguiente:
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Demostración por inducción

Consideramos tres casos.
Para n > 0, procedemos a través de la inducción matemática. Cuando n = 1, el resultado es claramentecierto. Para nuestra hipótesis asumimos que el resultado es verdadero para algún entero positivo k. Eso es que asumimos:
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Ahora, considerando el caso n = k + 1:
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Deducimosque el resultado es verdadero para n = k + 1 cuando es verdadero para n = k. Por el principio de la inducción matemática se desprende que el resultado es verdadero para todos los enteros positivos n≥1.Cuando n = 0 la fórmula es verdadera ya que cos (0x) + isin (0x) = 1 + i0 = 1, y (por convención) z0 = 1.
Cuando n < 0, consideramos un entero positivo m tal que n = −m. Por lo tanto:
[pic]Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
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Si el número complejo está en...