Formula de stirling

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La fórmula y aproximación de Stirling

ISANDIR VEGA FIESCO
UNIVERSIDAD DISTRITAL – TEORIA DE LA INFORMACIÓN
PROFESOR DANNY TAPIERO

ResumenEn el siguiente articulo veremos la formula de Stirling; la cual en realidad lo que se hace es calcular valores de expresiones utilizando el valor medio (esperanza matemática) del número deocurrencias n! de los eventos de interés, su definición formal, demostración y algunos usos de ella.

Introducción

Una sucesión es una función de los números naturales N a los números reales R, es decir,una función que asocia a cada número natural un número real. Se suelen representar como an. Se dice que una sucesión an es convergente si conforme aumentamos el valor de n el valor de an se acercacada vez más a un cierto número, al que llamaremos límite de la sucesión.
El cálculo de límites de sucesiones es un tema que suele estar presente en todos los temario de Cálculo de carreras de ciencias(Ingenierías, Matemáticas, Físicas, Químicas…) y existen bastantes métodos para realizar ese cálculo dependiendo de la estructura de la propia sucesión. En este post vamos a ver una equivalenciabastante inesperada que podemos usar para calcular un límite en el que aparece el término n!: la fórmula de Stirling.

Definición formal

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La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x)tiende a cero al crecer x.
En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor de James Stirling.
La aproximación se expresa como
[pic]para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural
La fórmula de Stirling está dada por
[pic]
que se reescribe frecuentemente como
[pic]
más exactamente la fórmula escomo sigue
[pic]
donde el último termino (la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.
La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188,...
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